פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]

אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.

[math]\displaystyle{ D }[/math] היא אלכסונית, ובפרט כבר בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math].

[math]\displaystyle{ p_{A}(x)=\begin{vmatrix.} x-2 &-8 \\ -2&x-2 \end{vmatrix} =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) }[/math]

קיבלנו שיש ל [math]\displaystyle{ A }[/math] שני ערכים עצמיים שונים [math]\displaystyle{ 6,-2 }[/math], ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math].

[math]\displaystyle{ p_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-4 \\ -4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) }[/math] ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ C }[/math] היא [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math].

נחשב צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ B }[/math]:

[math]\displaystyle{ p_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ -2&x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2} }[/math] כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ B }[/math]. קל לראות כי [math]\displaystyle{ m_{B}(x)=(x-2)^{2} }[/math] (שכן [math]\displaystyle{ (B-2I)\neq 0 }[/math]) ולכן צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ B }[/math] היא [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix} }[/math]

בסה"כ קבלנו כי[math]\displaystyle{ A\sim C\sim D }[/math] ו [math]\displaystyle{ B }[/math] אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.