הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"
מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של A,B יש צורת ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות: | ||
+ | |||
+ | |||
נז'רדן את <math>A</math>: | נז'רדן את <math>A</math>: | ||
שורה 88: | שורה 91: | ||
ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא <math>m_B(x)=x^3</math>. | ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא <math>m_B(x)=x^3</math>. | ||
− | לכן צורת ז'ורדן של A היא <math>\begin{pmatrix} | + | לכן בצורת ז'ורדן של <math>B</math> יופיע בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3, והמטריצה היא מסדר 4; לכן צורת ז'ורדן של A היא <math>\begin{pmatrix} |
J_3 & \\ | J_3 & \\ | ||
& J_1 | & J_1 | ||
שורה 96: | שורה 99: | ||
מש"ל סעיף א'. | מש"ל סעיף א'. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>, ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>. ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2. כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>. | ||
+ | |||
+ | באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>. ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2. כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>. | ||
+ | |||
+ | לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>. | ||
+ | '''מש"ל!''' |
גרסה מ־11:39, 29 בדצמבר 2011
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של A,B יש צורת ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות:
נז'רדן את :
נמצא פ"א:
כעת, ולכן נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא .
דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של היא
.
כעת נז'רדן את :
נמצא פ"א:
כעת נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות של B, ובכך גם את הפ"מ שלה:
ואילו
ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא .
לכן בצורת ז'ורדן של יופיע בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3, והמטריצה היא מסדר 4; לכן צורת ז'ורדן של A היא .
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.
מש"ל סעיף א'.
סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים , ולכן . ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2. כמו כן שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב לעצמו. לכן בסה"כ .
באופן דומה עבור , מתקיים , ולכן . ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2. כמו כן שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב לעצמו. לכן בסה"כ .
לסיכום, קיבלנו .
מש"ל!