הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3"
מ |
|||
שורה 103: | שורה 103: | ||
---- | ---- | ||
− | סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>, ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>. ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2. כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | + | סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>, כאשר <math>V</math> המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A (<math>\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v</math>) ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>. |
+ | |||
+ | ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2. | ||
+ | |||
+ | כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | |||
לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>. | לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>. | ||
− | באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>. ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2. כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | + | |
+ | באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>. | ||
+ | |||
+ | ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2. | ||
+ | |||
+ | כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | |||
לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>. | לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>. | ||
לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>. | לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>. | ||
− | + | '''מש"ל!''' |
גרסה מ־11:43, 29 בדצמבר 2011
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של A,B יש צורת ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות:
נז'רדן את :
נמצא פ"א:
כעת, ולכן נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא .
דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של היא
.
כעת נז'רדן את :
נמצא פ"א:
כעת נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות של B, ובכך גם את הפ"מ שלה:
ואילו
ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא .
לכן בצורת ז'ורדן של יופיע בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3, והמטריצה היא מסדר 4; לכן צורת ז'ורדן של A היא .
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.
מש"ל סעיף א'.
סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים , כאשר המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A () ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
באופן דומה עבור , מתקיים , ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
לסיכום, קיבלנו . מש"ל!