בעבודה![[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]
<math>A=\begin{pmatrix}
נמצא את הפ"א:
<math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
x-1 & -1 & -1\\
0&x-1 &0 \\
\end{vmatrix}=(x-1)^3</math>
<math>A-I</math> נילפוטנטית מסדר 3שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.
נקבל בסוף שצורת הז'ורדן היא <math>JA-I</math> הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: <math>A-I\neq 0_{3\times 3}</math> ואילו <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\
0 & 1 & 1\\
0&0 &0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}^2=0_{3\times 3}</math>
.
לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם <math>J_2(0)</math> ו- <math>J_1(0)</math>.
לכן קיימת <math>P</math> הפיכה, כך ש-
<math>P^{-1}(A-I)P=\begin{pmatrix}
J_2(0) & 0\\
0 & J_1(0)\\
\end{pmatrix}
</math>
.
נפתח סוגריים ונפשט:
<math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0
\end{pmatrix}
</math>
נעביר אגפים, ונקבל ש <math>P^{-1}AP=I+\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0& 1
\end{pmatrix}</math>
לכן צורת ז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix}
1 & 1 &0 \\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1.
מ.ש.ל.