הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25"
(יצירת דף עם התוכן "עבור המטריצה A: א. <math>\underset{A}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & x-1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} ...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | עבור המטריצה A: | + | ===עבור המטריצה A:=== |
א. <math>\underset{A}{p(x)} = \begin{vmatrix} | א. <math>\underset{A}{p(x)} = \begin{vmatrix} | ||
שורה 39: | שורה 39: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | עבור המטריצה B: | + | ===עבור המטריצה B:=== |
א. <math>\underset{B}{p(x)} = \begin{vmatrix} | א. <math>\underset{B}{p(x)} = \begin{vmatrix} | ||
שורה 75: | שורה 75: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | + | ===עבור המטריצה C:=== | |
+ | |||
+ | א. <math>\underset{C}{p(x)} = \begin{vmatrix} | ||
+ | x-2 & 1 & -1 & 1\\ | ||
+ | 0 & x-1 & -1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 1 & x-3 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & x-2 | ||
+ | \end{vmatrix} = (x-2)\begin{vmatrix} | ||
+ | x-2 & 1 & -1\\ | ||
+ | 0 & x-1 & -1\\ | ||
+ | 0 & 1 & x-3 | ||
+ | \end{vmatrix} = (x-2)^2\begin{vmatrix} | ||
+ | x-1 & -1\\ | ||
+ | 1 & x-3 | ||
+ | \end{vmatrix} = (x-2)^4</math> לפי פיתוח לפי שורה אחרונה ולאחר מכן פיתוח לפי טור ראשון. | ||
+ | |||
+ | ב. <math>\underset{C}{m(x)} = (x-2)^l</math> נמצא את l. עבור l=1 נקבל <math>x-2 = \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & -1 & 1 & -1\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & -1\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & -1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל <math>(x-2)^2 = 0</math> ולכן l=2 כלומר: <math>\underset{C}{m(x)} = (x-2)^2</math> | ||
+ | |||
+ | ג. לפי הפולינום האופייני <math>\lambda = 2</math> | ||
+ | |||
+ | ד. עבור <math>\lambda = 2</math> נחפש את <math>dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = n - \rho(A)</math>. אבל <math>\rho (A) = \rho \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & -1 & 1 & -1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> לפי דירוג המטריצה ולכן dim(\underset{2}{V}) = 3. | ||
+ | |||
+ | ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 3 כלומר היא מורכבת מ-3 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: <math>J = \begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 1 &0 &0 \\ | ||
+ | 0 & 2 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 2 &0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> |
גרסה אחרונה מ־21:22, 2 בינואר 2012
עבור המטריצה A:
א. לפי פיתוח של שורה ראשונה.
ב. . נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נקבל ולכן מפני ש- נקבל: . אבל . עבור , נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה (לינארית 1) ולכן .
ה. לפי הסעיפים הקודמים נקבל שצורת הז'ורדן מורכת משתי צורות ז'ורדן G1,G2 הקשורות ל-2,1 בהתאמה. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 2 הוא 1 כלומר היא מגודל 1x1, נקבל . מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 1 הוא 3 כלומר היא מגודל 3x3, והריבוי הגיאומטרי הוא 2 כלומר היא מורכבת משני בלוקים, נקבל . לבסוף קיבלנו:
עבור המטריצה B:
א. לפי היותה של B מצורת משולשית בלוקים.
ב. נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה ולכן .
ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 2 כלומר היא מורכבת מ-2 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל:
עבור המטריצה C:
א. לפי פיתוח לפי שורה אחרונה ולאחר מכן פיתוח לפי טור ראשון.
ב. נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה ולכן dim(\underset{2}{V}) = 3.
ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 3 כלומר היא מורכבת מ-3 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: