הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
(יצירת דף עם התוכן "א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> ב. לפולינ...") |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | ||
− | אחרי חישוב נקבל ש- <math>A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A | + | אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A |
שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). | ||
לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math> | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math> |
גרסה מ־09:05, 4 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע למדה ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע למדה מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא