שינויים
לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:
ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.
אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=1</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:
מ.ש.ל.'''
== פתרון פשוט יותר ==
(בלי להעביר לצורה נילפוטנטית)
'''הגדרה:'''
האינדקס של ערך עצמי <math>\lambda</math> הוא <math>max\{k|(x-\lambda)^{k}/m_{A}(x)\}</math>
כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא <math>(x-\lambda)^{3}</math> כמו שהראנו קודם
בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של <math>\lambda\in\{1,2,3\}</math>
'''נניח שהאינדקס 1'''
נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1
כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית <math>\lambda I</math> ולכן היא יחידה
'''נניח שהאינדקס 2'''
נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול <math>J_{m}(\lambda)</math> הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ <math>J_{2}(\lambda)</math>,<math>J_{1}(\lambda)</math>
'''נניח שהאינדקס 3'''
נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3
בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:
<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math>
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות<math>A \sim B</math>
נניח שיש 2 שורשים שונים <math>\lambda_{1},\lambda_{2}</math> כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :
<math>f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)</math>
נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של<math>\lambda_{2}</math>
'''נניח שהוא 1'''
נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של<math>\lambda_{1}</math> הוא 1)
ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית
'''נניח שהוא 2'''
נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות <math>\lambda_{2}</math> ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:
<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math>
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות <math>A \sim B</math>
