הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←דרך כמו שרשום בחוברת) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←דרך כמו שרשום בחוברת) |
||
שורה 39: | שורה 39: | ||
− | הבלוק הכי גדול הוא בסדר <math>\max\left\{ k|\left(x- | + | הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר <math>\max\left\{ k|\left(x-1\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\}=2</math> |
− | + | ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק <math>J_{m}(2)</math> | |
+ | |||
+ | אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1 ולכן: | ||
ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> | ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> |
גרסה מ־09:57, 5 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1 ולכן:
ולכן צורת הז'ורדן של A היא