הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21"
(יצירת דף עם התוכן "א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המ...") |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 6: | שורה 6: | ||
אמצא את G1, השייך לע"ע 2: | אמצא את G1, השייך לע"ע 2: | ||
− | ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> | + | ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> החזקה של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: <math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \}</math>. |
אמצא את G2, השייך לע"ע 3: | אמצא את G2, השייך לע"ע 3: | ||
− | ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. | + | ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. החזקה של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: <math>diag\left \{ J_2(3)\right \}</math> |
ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן: | ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן: | ||
שורה 32: | שורה 32: | ||
− | ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math> | + | ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math>dim(ker(T-\lambda I)</math> |
− | ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math> | + | ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math>dim(ker(T-4I))=3</math> כלומר 3. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות: |
− | <math>diag\left \{ | + | <math>diag\left \{ J_3(4),J_1(4),J_1(4) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(4),J_2(4),J_1(4) \right \}</math>. |
<math>\begin{pmatrix} | <math>\begin{pmatrix} | ||
4 &1 &0 &0 &0 \\ | 4 &1 &0 &0 &0 \\ | ||
0 & 4 &1 &0 &0 \\ | 0 & 4 &1 &0 &0 \\ | ||
− | 0 & 0 &4 & | + | 0 & 0 &4 & 0 &0 \\ |
0 & 0 & 0 & 4 &0\\ | 0 & 0 & 0 & 4 &0\\ | ||
0 & 0 & 0 & 0 &4 | 0 & 0 & 0 & 0 &4 | ||
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix} | \end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix} | ||
4 &1 &0 &0 &0 \\ | 4 &1 &0 &0 &0 \\ | ||
− | 0 & 4 & | + | 0 & 4 & 0 &0 &0 \\ |
− | 0 & 0 &4 & | + | 0 & 0 &4 &1 &0 \\ |
− | 0 & 0 & 0 & 4 & | + | 0 & 0 & 0 & 4 &0\\ |
0 & 0 & 0 & 0 &4 | 0 & 0 & 0 & 0 &4 | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
מ.ש.ל (: | מ.ש.ל (: |
גרסה אחרונה מ־13:57, 5 בינואר 2012
א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: . סכום החזקות של הפולינום המינימלי של האופרטור הוא 6, ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 6X6. צורת זו'רדן של האופרטור תיראה מהצורה: כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.
אמצא את G1, השייך לע"ע 2:
ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: החזקה של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: או .
אמצא את G2, השייך לע"ע 3:
ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. החזקה של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא:
ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן: או .
או
ב. הפולינום האופייני שלו הוא: , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: . עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם:
ולכן, עבור הע"ע מספר בלוקי הז'ורדן הם: כלומר 3. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות:
או .
או
מ.ש.ל (: