הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←דרך כמו שרשום בחוברת) |
|||
שורה 5: | שורה 5: | ||
\end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math> | \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math> | ||
− | ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | + | ב. לפולינום המינימאלי של <math>A</math> יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של <math>A</math>. |
− | אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A | + | אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של <math>A</math> |
− | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A | + | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את <math>A</math>. |
− | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math> | + | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>. |
− | ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו | + | |
+ | ג. הע"ע של <math>A</math> הם שורשי הפולינום האופייני של <math>A</math>, שהם <math>2</math> ו <math>1</math>. | ||
ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. | ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. |
גרסה מ־23:01, 8 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של . אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא .
ג. הע"ע של הם שורשי הפולינום האופייני של , שהם ו .
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא