פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4

השאלה: נניח שלמטריצות [math]\displaystyle{ A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3} }[/math] יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות [math]\displaystyle{ A }[/math] ו [math]\displaystyle{ B }[/math] דומות.

פתרון:

הרעיון בכלליות: נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים, אבל אותו רעיון של הוכחה יעבוד עבור סדר 2) אז יש רק צורה אפשרית אחת (עד כדי סדר בלוקים) לכל בחירה של אופייני ומינימלי.

סימונים:

[math]\displaystyle{ f_{A}(x) }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A

[math]\displaystyle{ m_{A}(x) }[/math] הפולינום המינימלי של המטריצה A

[math]\displaystyle{ J_{A} }[/math] צורת הג'ורדן של המטריצה A

[math]\displaystyle{ J_{m}(\lambda ) }[/math] בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]

אנו יודעים ש[math]\displaystyle{ rank(A)=3 }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ deg(f_{A})=3 }[/math]

נפצל את הפתרון לכמה מקרים:

אם ל[math]\displaystyle{ f_{A}(x) }[/math] שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.

אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0& 0\\ 0& \lambda _{2}&0 \\ 0&0 & \lambda _{3} \end{pmatrix} }[/math]

ולכן דומות בניהן.

אם ל[math]\displaystyle{ f_{A}(x) }[/math] שורש אחד, כלומר ע"ע אחד

אז [math]\displaystyle{ A-\lambda I, B-\lambda I }[/math] (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטנטיות ובגלל שכל פולינום מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים מתקיים:

[math]\displaystyle{ f_{A-\lambda I}(x)=(x-\lambda)^{3}=f_{B-\lambda I}(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ m_{A-\lambda I}(x)=m_{B-\lambda I}(x) }[/math]

אחרת נקבל שיש שורש שונה מ-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] לפולינום האופייני ולכן גם אין ערך עצמי יחיד.

לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:

*למטה פתרון פשוט יותר

ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.

אם [math]\displaystyle{ deg(m_{A-\lambda I}(x))=1 }[/math] אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:

[math]\displaystyle{ J_{A-\lambda I}=J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)=0=J_{B-\lambda I} }[/math]

אם [math]\displaystyle{ deg(m_{A-\lambda I}(x))=2 }[/math] אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:

[math]\displaystyle{ J_{A-\lambda I}=J_{2}(0)\oplus J_{1}(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}=J_{B-\lambda I} }[/math]

אם [math]\displaystyle{ deg(m_{A-\lambda I}(x))=3 }[/math] אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):

[math]\displaystyle{ J_{A-\lambda I}=J_{3}(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}=J_{B-\lambda I} }[/math]

בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות [math]\displaystyle{ A-\lambda I, B-\lambda I }[/math] אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.

מכאן, קיימת [math]\displaystyle{ P\in \mathbb{C}^{3x3} }[/math] הפיכה כך שמתקיים: [math]\displaystyle{ P^{-1}(A-\lambda I)P=B-\lambda I }[/math]

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP=B-\lambda I }[/math]

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP-\lambda I=B-\lambda I }[/math]

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=B }[/math] ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.

אם ל[math]\displaystyle{ f_{A}(x) }[/math] שני שורשים אז בהכרח מתקיים:

[math]\displaystyle{ f_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2}) }[/math]

וגם, [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2}) }[/math]

או [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2}) }[/math]

נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:

מקרה 1: [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2}) }[/math]

צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:

[math]\displaystyle{ f_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )^{2}, m_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} ) }[/math]

מטריצה כזו הינה מהצורה: [math]\displaystyle{ \lambda _{1} I=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0& \lambda _{1} \end{pmatrix} }[/math]

והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \lambda _{2} \end{pmatrix} }[/math]

ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: [math]\displaystyle{ J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0& 0\\ 0& \lambda _{1} &0 \\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix} }[/math]

הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.

מקרה 2: [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2}) }[/math]

במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \lambda _{1} & 1\\ 0& \lambda _{1} \\ \end{pmatrix} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \lambda _{2} \end{pmatrix} }[/math]

ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: [math]\displaystyle{ J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 1 & 0\\ 0& \lambda _{1} & 0\\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix} }[/math]

בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.

לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.

מ.ש.ל.

פתרון פשוט יותר

(בלי להעביר לצורה נילפוטנטית)

הגדרה:

האינדקס של ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ max\{k|(x-\lambda)^{k}/m_{A}(x)\} }[/math]

כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^{3} }[/math] כמו שהראנו קודם

בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של [math]\displaystyle{ \lambda\in\{1,2,3\} }[/math]

נניח שהאינדקס 1

נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1

כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית [math]\displaystyle{ \lambda I }[/math] ולכן היא יחידה

נניח שהאינדקס 2

נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול [math]\displaystyle{ J_{m}(\lambda) }[/math] הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ [math]\displaystyle{ J_{2}(\lambda) }[/math],[math]\displaystyle{ J_{1}(\lambda) }[/math]

נניח שהאינדקס 3

נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3

בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:

[math]\displaystyle{ B\sim J_{B}=J_{A}\sim A }[/math]

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות[math]\displaystyle{ A \sim B }[/math]

נניח שיש 2 שורשים שונים [math]\displaystyle{ \lambda_{1},\lambda_{2} }[/math] כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :

[math]\displaystyle{ f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right) }[/math]

נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של[math]\displaystyle{ \lambda_{2} }[/math]

נניח שהוא 1

נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של[math]\displaystyle{ \lambda_{1} }[/math] הוא 1) ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית

נניח שהוא 2

נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות [math]\displaystyle{ \lambda_{2} }[/math] ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:

[math]\displaystyle{ B\sim J_{B}=J_{A}\sim A }[/math]

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות [math]\displaystyle{ A \sim B }[/math]