'''השאלה:'''
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x33 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A וB </math> ו <math>B</math> דומות.
'''פתרון:'''
אני מאמין שיש פיתרון אלגנטי יותר, אבל כאן יש שימוש בצורת ג'ורדן - אז למה לא?
'''הרעיון בכלליותהגדרה:'''נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צ'ורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים) אז יש רק צורת ג'ורדן אפשרית אחת, לכל בחירה של אופייני ומינימלי.
סימונים: האינדקס של ערך עצמי <math>f_\lambda</math> הוא <math>max\{k : (x-\lambda)^{k}\vert m_{A}(x)\}</math> הפולינום האופייני של המטריצה A
כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא <math>m_{A}(x-\lambda)^{3}</math> הפולינום המינימלי של המטריצה Aכמו שהראנו קודם
בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של <math>J_\lambda\in\{A1,2,3\}</math> צורת הג'ורדן של המטריצה A
<math>J_{m}(\lambda )</math> בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי <math>\lambda </math>''נניח שהאינדקס 1'''
נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1
כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית <math>\lambda I</math> ולכן היא יחידה
אנו יודעים ש<math>rank(A)=3</math> ולכן גם <math>deg(f_{A})=3</math>'''נניח שהאינדקס 2'''
נפצל את הפתרון לכמה מקרים:נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול <math>J_{m}(\lambda)</math> הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ <math>J_{2}(\lambda)</math>,<math>J_{1}(\lambda)</math>
'''נניח שהאינדקס 3'''
'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.'''נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3
אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורהבסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:
<math>B\beginsim J_{pmatrixB}\lambda _=J_{1A} & 0& 0\\ 0& \lambda _{2}&0 \\ 0&0 & \lambda _{3}\end{pmatrix}sim A</math>
ולכן דומות בניהן.ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות<math>A \sim B</math>
נניח שיש 2 שורשים שונים <math>\lambda_{1},\lambda_{2}</math> כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :
'''אם ל<math>f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)</math> שורש אחד, כלומר ע"ע אחד'''
אז נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של<math>A-\lambda I, B-\lambda Ilambda_{2}</math> (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטניות שגם עבורן מתקיים:
<math>f_{A-\lambda I}(x)=(x-\lambda)^{3}=f_{B-\lambda I}(x)</math>'''נניח שהוא 1'''
נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של<math>m_{A-\lambda I}(x)=m_lambda_{B-\lambda I1}(x)</math>הוא 1)ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית
לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:''נניח שהוא 2'''
ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הגנקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות <math>\lambda_{2}</math> ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן.מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:
<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math>
אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=1</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן: <math>J_{A-\lambda I}=J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)=0=J_{B-\lambda I}</math> אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=2</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן: <math>J_{A-\lambda I}=J_{2}(0)\oplus J_{1}(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math> אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=3</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן): <math>J_{A-\lambda I}=J_{3}(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math> בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות <math>A-\lambda I, B-\lambda I</math> אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. מכאן, קיימת <math>P\in \mathbb{C}^{3x3}</math> הפיכה כך שמתקיים: <math>P^{-1}(A-\lambda I)P=B-\lambda I</math> <math> P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP=B-\lambda I</math> <math> P^{-1}AP-\lambda I=B-\lambda I</math> <math> P^{-1}AP=B</math> ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות. '''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שני שורשים אז בהכרח מתקיים:''' <math>f_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math> וגם, <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math> או <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math> נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו: '''מקרה 1:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math> צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן ומטרנזיטיביות של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים: דמיון מטריצות <math>f_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )^{2}, m_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )</math> מטריצה כזו הינה מהצורה: <math>\lambda _{1} I=\begin{pmatrix}\lambda _{1} & 0\\ 0& \lambda _{1} \end{pmatrix}</math> והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה <math>\begin{pmatrix}\lambda _{2}\end{pmatrix}</math> ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix}\lambda _{1} & 0& 0\\ 0& \lambda _{1} &0 \\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix}</math> הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות. '''מקרה 2:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math> במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: <math>\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 1\\ 0& \lambda _{1} \\ \end{pmatrix}</math>ו- <math>\begin{pmatrix}\lambda _{2} \end{pmatrix}</math> ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{sim B}=\begin{pmatrix}\lambda _{1} & 1 & 0\\ 0& \lambda _{1} & 0\\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix}</math> בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. '''לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות. מ.ש.ל.'''
