שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 2

תרגיל 6

ערב טוב, בחלק מתרגיל 6 מופיעה המטלה 5.6 סעיפים א, ב, ג. אני לא מצליח למצוא את סעיף ג, האם מדובר בתרגיל שבעמוד 19 בחוברת?

תודה רבה, דביר

כנראה שזו טעות. תפתרו רק את סעיפים א,ב. :--מני

תרגיל 6 שאלה 6 סעיף ב'

נתון: [math]\displaystyle{ tr(AA^*)=0 }[/math] צריך להוכיח: [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]

האם כוכבית משמע transpose במקרה זה? ואם כן יש לכך הפרכה לדעתי.

כוכבית אינה transpose. ההגדרה של כוכבית מופיעה לפני השאלה. קודם מבצעים transpose (שחלוף) של המטריצה ואח"כ מחליפים כל איבר במטריצה שהתקבלה בצמוד המרוכב שלו.

למשל [math]\displaystyle{ 1+i }[/math] מוחלף ב [math]\displaystyle{ 1-i }[/math]. :--מני

תודה רבה

בקשר לפתרונות פונדמנטאליים

בעמוד 17 בתרגיל 3.4 צריך להוכיח #L#=H כלומר גודל קבוצת הפתרונות של המערכת הלא הומוגניים שווה לגודל קבוצת הפתרונות ההומוגניים עכשיו כתבתם בכתה את הביטוי L=v+H האם הכוונה פה היא לחבר פתרון ספציפי של מערכת הומוגונית לכל פתרון בקבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית?

v=פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית

תודה

כתוב פעם אחת אצלך "פתרון ספציפי של מערכת הומוגנית" ופעם אחרת "פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית". אני מניח שהמילה "לא" בטעות לא הוקלדה בפעם הראשונה. בקיצור התשובה לשאלתך היא חיובית בהנחה

שבאמת התכונת לרשום מה שרשמת בפעם השניה: v=פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית. --מני

תרגיל 5.6 סעיף א

אוקיי מצאתי את המחלקה הכי גדולה.. אבל ניסוח השאלה שם לא ברור לי כל כך, מז"א כך שכל שתי מטריצות במחלקה מתחלפות? הכוונה במחלקה הגדולה ביותר? או בכל מחלקה שהיא מכילה להראות בנפרד? או בכלל הכוונה בין כל שתי מחלקות במוכלות בה?

תודה

יש למצוא את המחלקה הגדולה ביותר בה כל שתי מטריצות מתחלפות. אם אתה חושב, למשל, שזאת מחלקת המטריצות האלכסוניות, אז עליך להראות שכל שתי מטריצות אלכסוניות מתחלפות שם, וכמו כן, בכל מחלקה גדולה יותר, לא כל שתי מטריצות מתחלפות. --לואי 14:12, 11 בדצמבר 2011 (IST)

אוקיי אבל למה שהראתי שכל שתי מטריצות מתחלפות שם ובקבוצה מעליה לא כל שתי מטריצות מתחלפות זה גורר שהיא הכי גדולה כך שכל שתי מטריצות מתחלפות בה וכל שאר הסוגים של המטריצות שמוכלים בה גם בהם כל שתי מטריצו מתחלפות..?

תודה

תרגיל 5

היי מני האם הבודק החזיר לך את תרגיל 5? אם כן יש אפשרות לקחת אותו מהתא שלך? תודה וערב טוב רעות

כן הוא החזיר. מחר (יום שלישי) אני אשים אותו בחדר צילום/הדפסות. זה בקומה של המזכירות. החדר הראשון מימין כשפונים מהכניסה למחלקה לכיוון המזכירות. זה יהיה שם אחרי 11.:--מני

בקשר לתרגיל 7 שאלה 3.2

האם צריך שם הוכחה כללית למה האיחוד לעולם לא יהיה תת מרחב או צריך פשוט דוגמא נגדית ? תודה

 יש להוכיח (כפי שכתוב) --לואי 12:48, 18 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 7 שאלה 4.3

ניסיתי לבדוק נכונות/אי נכונות המשוואה דרך תורת הקבוצות או דרך דיאגרמה.. דרך שתיהן לא הצלחתי האם יש עוד דרך? כלומר מלבד לנחש הפרכה או משהו כזה? או שדרך אחת מהדרכים הקודמות אני אמור לראות בבירור מה קורה שם?

תודה

לא ברור לי לאיזו דיאגרמה התכוונת. בהוכחה אכן אפשר לנסות לפי הגדרות של תתי מרחבים ובשימוש תורת הקבוצות. אפשר לשים לב שאם סעיף א נכון אז בהכרח גם סעיף ג. מצד שני אם יש דוגמא נגדית שמפריכה את ג' היא תהיה גם דוגמא נגדית המפריכה את א'. כדאי גם להסתכל על הטיפ- הפרכה מינימלית שמופיע בספר לפני השאלה. בסעיף ב' אני חושב שהתשובה די ברורה :--מני

תרגיל 7 שאלה 4.8

לא ברור לי שם מה הכוונה מז"א R בחזקת n ז"א לתת דוגמא ספציפית ? ומה הכוונה שפעם התתי מרחבים הם v1 u1 ופעם אחרת הם V2 U2? תודה

לא דוגמא ספציפית. מותר לך שתתי המרחבים יהיו תלויים בn. ז"א נניח עבור n=1 אפשר היה למצוא תתי מרחבים כאלה ועבור n=2 היה אפשר למצוא תתי מרחבים שמקיימים הדרוש. עליך למצוא באופן כללי תתי מרחבים של

[math]\displaystyle{ \Bbb{R}^n }[/math] שמקיימים מה שכתוב. אפשר להסתכל על זה כשני סעיפים נפרדים. צריך למצוא שני תתי מרחבים שמקיימים את א'.כמו כן צריך למצוא שני תתי מרחבים שמקיימים את ב'. לא צריך(וגם זה לא אפשרי) למצוא שני תתי מרחבים שמקיימים את א' וב' ביחד. הרי בסעיף אחד הסכום הוא מרחב האפס ובסעיף השני הסכום (שהוא גם סכום ישר) הוא כל [math]\displaystyle{ \Bbb{R}^n }[/math] :--מני

תרגיל 7, 2.11 ב

מעל איזה שדה מדובר? תודה.

[math]\displaystyle{ \Bbb F }[/math] :--מני

נכון... ובהמשך לכמה שאלות שקיבלתי במייל: השדה [math]\displaystyle{ \Bbb F }[/math] הוא שדה כלשהו. --לואי 10:17, 20 בדצמבר 2011 (IST)

תשובות ל7..

יש סיכוי שתעלו את הפתרונות של תרגיל 7?

תודה, חג אורים שמח(:

כן, יש סיכוי. אם רק פך השמן שלי יחזיק מעמד עוד כמה שעות, אולי אסיים אותם כבר הלילה! --לואי 23:20, 22 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 8 שאלה 4 שלא מהחוברת

האם בסעיף הראשון צריך להוכיח עבור כל 8 האקסיומות? תודה

אפשר, אבל למעשה - אין צורך. מדוע?... --לואי 23:51, 24 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 8, עמוד 37 בחוברת תרגיל 5.4

האם יש פתרון יותר יעיל מאשר לפתור מטריצה של 6 שורות ו-4 עמודות?

תודה

נראה לי שיש 3 עמודות. 6 משוואות ב3 נעלמים. לא כ"כ נורא. לא צריך בהכרח למצוא ממש את הפתרון של המערכת. בכל מקרה כנראה צריך לדרג.--מני 19:12, 25 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 8 שאלה מהחוברת 5.6

לא ברור למה משמש הנתון V1 שונה מ0 הצלחתי להוכיח בלעדיו, כלומר אני לא מבין איך הוא משפיע על ההוכחה? עבור מקרה ספציפי או משהו כזה?

תודה

יש לך טעות בהוכחה. הטענה לא נשארת נכונה אם אפשר לקחת [math]\displaystyle{ v_1=0 }[/math]. דוגמא נגדית:נניח שהמרחב הוקטורי הוא [math]\displaystyle{ \Bbb {R}^2 }[/math]

,[math]\displaystyle{ v_1=(0,0),v_2=(3,5) }[/math] שני הוקטורים האלו תלויים ליניארית. בכלל אם אחד הוקטורים בקבוצה הוא וקטור האפס אז היא תמיד תהיה ת"ל. אם הטענה כן היתה נכונה, אז במקרה הזה מכיון ש n=2 בהכרח i היחידי המקיים [math]\displaystyle{ 1\lt i\leq n }[/math] הוא i=2. המשמעות היתה שניתן להציג את (3,5) כצירוף ליניארי של וקטור האפס. (כלומר סקלר כפול וקטור האפס ). אבל זה אינו נכון שכן וקטור האפס כפול כל סקלר יתן את וקטור האפס. אפשר לקבל כיוון להוכחה בספויילר שצירפנו. קצת קשה לי לדעת מה לא נכון בהוכחה שלך מבלי שראיתי אותה. --מני 19:29, 25 בדצמבר 2011 (IST)

פשוט אמרתי שאם זה ת"ל אז צריך לתפוס את הווקטור האחרון שמקדמו שונה מ0 כיוון שכל השאר אחריו יהיו שווים ל-0 ואת אלה שלפניו פשוט נעביר אגף... האם זו הוכחה מספקת? כי היא לא בונה על V1 שונה מ0..

יש בהוכחה הזאת דווקא הסתמכות על כל שV1 שונה מ0. למעשה זה בדיוק הדבר שחסר בהוכחה. למה? --מני 23:40, 25 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5.7 מהחוברת

האם הכוונה בנתון הראשון מצד ימין בסעיף א ש v1 תלוי לינארית בעצמו לבד וכך הלאה?

תודה

לא. הכוונה היא שיש צירוף ליניארי לא טריוויאלי של הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,\ldots v_n }[/math]

שנותן את וקטור האפס. --מני 19:37, 25 בדצמבר 2011 (IST)

אז זה לא אותו דבר כמו שרשום בצד שמאל? הכוונה שלי אם זה a1v1=0 ,a2v2=0....anvn=0

ו.. a1,a2 עד an כולם שונים מ0 או משהו אחר ?

לא. מה שצד ימין אומר הוא מה שאמרתי קודם. אפשר לקרוא גם מה שכתוב לפני שאלה 5.1 בספר (ביתר פירוט).

בצד שמאל משתמשים בהגדרה של קבוצה תלויה ליניארית כפי שהיא מוגדרת ממש לפני שאלה 5.7. ההגדרות יוצאות שקולות (כשהוקטורים שונים), אך צריך להוכיח שאכן זה כך. --מני 22:20, 25 בדצמבר 2011 (IST)

אז לפי הגדרה שלפני השאלה אומרים לי בעצם שקיימים מספר מסוים של איברים מתוך הקבוצה השונים אחד מהשני כך שצירוף לינארי שלהם נותן 0 אז צ"ל שכל הקבוצה בגלל זה היא ת"ל ולצד השני זהו הדין?

שאלה 5.7 תרגיל 8

שלום למתרגלים

ישנו סימן # ליד הקבוצה. מה זה אומר?

מספר האיברים בקבוצה--מני 22:15, 25 בדצמבר 2011 (IST)

שאלה 5.8 א

לא ברור לי מה השאלה שם, האם מתכוונים שאם יש בתת בקבוצה שני איברים לדוגמא שהם ת"ל אז להם ספציפית צריך להוסיף עוד כמה איברים ולבדוק אם היא עדיין תלויה לינארית או שרק מתכוונים שאם יש קבוצה עם שני איברים לדוגמא אז כל קבוצה אחרת בת 3 איברים כלשהם אחרים או לא היא גם ת"ל תחת אותו מרחב ווקטורי

תודה

נתונה A תלוייה לינארית והשאלה היא אם כל תת קבוצה מתוך המרחב הוקטורי V המכילה יותר מ-k איברים היא תלוייה לינארית --ארז שיינר

לא בהכרח להוסיף לאותם איברים ספציפיים עוד איברים יכול להיות קבוצה אחרת בכלל תחת אותו מרחב ווקטורי רק עם יורת איברים,נכון?

נכון.--מני 17:53, 31 בדצמבר 2011 (IST)

בקשר לשעות קבלה עם לואי

האם מחר יתקיימו שעות קבלה עם לואי ואם כן מתי?

תודה

 לא, מחר לא יתקיימו שעות קבלה.--לואי 22:44, 4 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 9 שאלה 7.16

שלום למתרגלים

האם צל"ט= צרוף לינארי טריוויאלי או צרוף לא טריוויאלי?

תודה רבה.

 צרוף ליניארי לא טריוויאלי, כלומר צרוף שבו לא כל המקדמים הם אפס. --לואי 22:45, 4 בינואר 2012 (IST)

שאלה כללית

האם המרחבים [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x],\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^{2\times 2} }[/math] וכו', הכוונה מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]?

באופן כללי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math],למשל, הכוונה מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]?

תודה.

כן. --מני 15:46, 5 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 9 שאלה 2 (ג)- תרגילים לא מהחוברת

היי התחלתי קצת להתבלבל. אם לדוגמא יש לי ווקטור (0,0) אז הוא לא תת מרחב ממימד אחד כי המימד שלו שווה לאפס.נכון?

עכשיו לגבי כל שאר הווקטורים האם אני צריכה לבדוק לגביהם את הקריטריון המקוצר? למשל אם יש לי את הווקטור (1,1) אז אפס נמצא בו, אם אני מחברת אותו עם עצמו אני אקבל וקטור שנמצא במרחב(2,2)

וגם אם אני אכפול בסקלר אני אקבל ווקטור שנמצא במרחב.

האם זאת הכוונה?

לגבי השאלה הראשונה את צודקת.

לגבי השאלה השניה אפשר להציג את תת המרחב בצורה מאד מסוימת כך שיהיה ברור שזה ת"מ. סה"כ מספר האיברים במרחב הוקטורי הזה אמור להיות סופי וגם תתי מרחבים שלו הם סופיים ואפשר להגיד בדיוק מה הגודל שלהם. לא ברור לי אם את מתחילה מלמעלה או מלמטה. "מלמעלה" זה שאת מניחה שתת המרחב שלך הוא תת מרחב ומניחה למשל כמו שרשמת ש הוקטור (1,1) נמצא בו ואז מסיקה בדיוק מהו תת המרחב. או שדווקא "מלמטה" את מתחילה מוקטור ספציפי ובונה באמצעותו ת"מ ממימד 1. איזו גישה שתבחרי יכולה להיות בסדר. אם את מייצרת ת"מ את צריכה לשכנע שמדובר בת"מ (לאו דווקא הקריטריון המקוצר). אם את מתחילה מת"מ ומנסה לראות מי בדיוק האיברים שלו בהנחה שאת מניחה שוקטור מסוים נמצא בתוכו גם כאן כמובן יש מה להוכיח. כאמור הכל כאן סופי כך שזה יכול לעזור.

--מני 17:53, 5 בינואר 2012 (IST)

בקשר לבת"ל של ווקטורים

לדוגמא יש לי את הווקטורים (1,2,3) (4,5,6) עכשיו נגיד היינו רוצים לבדוק ת"ל ללא מטירצות דרך משוואות אז היינו מצמידים מקדמים והיה יוצא משהו כזה 4a+b=0 5a+2b=0 6a+3b=0

עכשיו לפי השיטה לבדיקת ת"ל צריך להשאיר את הווקטורי שורה כשורות במטריצה שבמשוואות זה בכלל הופך לעמודות ואם אני יכניס את זה כעמודות של משוואות כמו בדוגמא מה אני אמור להסיק? או שזה בכלל לא קשור?

תודה

הי, נראה לי שיש כן בלבול בין הטכניקה של שורות לבין הטכניקה של העמודות. נשמח להסביר את זה שוב בשעות קבלה. --לואי 22:33, 7 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 9 שאלה 7.2 סעיף א

בקשר להוכיח שB פורשת אם עשיתי a,b,c,d כפול כל וקטור והשוויתי לווקטור כללי אז אחרי שאני עושה מטריצה אם דירגתי ויצא לי מדורגת ללא שורות אפסים ז"א שהיא פורשת? נכון? תודה

עוד בשלב שלפני המטריצה, עלינו לשאול עצמנו: מה מחפשים? מחפשים מצב שבו יש פתרון (מדוע?)... --לואי 22:34, 7 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 9, 7.16

לגבי הרמז: צריך להתייחס למרחב העמודות? ואם כן, באיזה טענה או דרך אפשר להשתמש? תודה.

למעשה, שימו לב שניתן להוכיח טענה זאת גם ללא הרמז... --לואי 12:35, 8 בינואר 2012 (IST)

אני חשבתי על זה שבמערכת ההומגנית יהיה משתנה חופשי אחד לפחות... אולי בכל זאת אפשר להגיד משהו על הרמז בחוברת? תודה.

בשמחה :).. כדי להשתמש ברמז, עליכם לשים לב (להיזכר) שלפי כפל עמודה ניתן לראות שכל פתרון של מערכת משוואות הוא צרוף ליניארי של עמודות מטריצת המקדמים... מדוע?... --לואי 14:14, 8 בינואר 2012 (IST)

מטריצה ות"ל

אני טיפה בפער, אז יכוליות שעניתם על זה עשרות פעמים, אבל אם מטריצה לא מרובעת, אז היא ת"ל, נכון?

כי אם יש יותר משתנים ממשוואות אז יש משתנים חופשים, ואם יש יותר משוואות ממשתנים אז יש שורות 0. נכון?

אם כן, אז כל פעם שאומרים להוכיח שאם K<N זה ת"ל, אז תכלס העיקר זה שN תהיה שונה מK.. אני מובנת?

תודה, אפרת

אני חושש שלא הבנתי.את צריכה להבדיל בין תלות ליניארית של שורות מטריצה,לתלות ליניארית של עמודות מטריצה,לתלות ליניארית של וקטורים שנבדקת בשימוש מטריצה. האמירה:מטריצה היא ת"ל, ממש לא ברורה.

--מני 20:46, 11 בינואר 2012 (IST)

צודק. אז בקצרה- העמודות תלויות כשיש יותר משתנים ממשוואות והשורות תלויות כשיש שורות אפסים, נכון?

מה בדבר כשבודקים וקטורים במטריצה? מה הכלל?

תודה!

התלות ליניארית של העמודות תלויה בקיום משתנים חופשיים. אם יהיה משתנה חופשי יהיה פתרון לא טריויאלי לAX=0 שמשמעותו קיום צירוף ליניארי לא טריויאלי לעמודות המטריצה. אם מדרגים את המטריצה ומקבלים משתנה חופשי אז העמודות ת"ל, אם כל המשתנים מובילים אז העמודות בת"ל. לכן במידה ויש יותר משתנים ממשואות אכן נקבל תלות ליניארית של העמודות כי בהכרח קים משתנה חופשי. השורות תלויות כשבצורה מדורגת מתקבלת שורת אפסים ובפרט אם במטריצה המקורית היו שורות אפסים.

לגבי בדיקת תלות וקטורים אפשר למקם כשורות במטריצה ואז התלות תהיה לפי הכלל של שורות כלומר אם בדירוג נקבל שורת אפסים. אפשר למקם בעמודות ואז הכל יהיה לפי הכלל של העמודות שציינתי קודם כלומר קיום משתנה חופשי.--מני 23:48, 12 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 7, 4.3

בפתרון (השני) של א אני חושב שאולי יש שגיאה;ווקטור האפס אמור להיות בקבוצות [math]\displaystyle{ W,V,U }[/math], לא?

נכון. על כל הקבוצות שם בפתרון השני צריך להוסיף span לפני ואז הפתרון נכון. --מני 20:32, 11 בינואר 2012 (IST)

תודה רבה.

פיתרון ל9?

תודה צדיקים(:

בבקשה, צדיקים... :) הועלה.--לואי 21:53, 12 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 10 שאלה לא מהחוברת

היי האם יש באפשרותכם לתת רמז? האם צריכים לבצע הכלה דו כיוונית?

באופן כללי, כדי להראות הכלה של תתי מרחבים, כדאי לבחור איבר כללי מאגף אחד ולהראות שהוא שייך לאגף השני. ביתר פרוט:יש לקחת איבר כללי, לראות אילו מן תנאים הוא חייב לקיים על מנת להיות שייך לאגף 1, ואז להראות שמהתנאים האלה ניתן להסיק את התנאים המספיקים לכך שהוא יהיה שייך לאגף 2. --לואי 21:49, 12 בינואר 2012 (IST)

יש אפשרות לספוילר בעניין? אני יושב על זה המון זמן ואין לי קצה חוט.

ניסינו לכתוב איזה ספוילר, אבל כל רמז שם כמעט פותר את השאלה... יש איזה סעיף ספציפי איתו אתה נתקע? אם תספר לנו איפה הבעיה - אולי ננסה לכוון אותך קצת?.... --לואי 23:35, 13 בינואר 2012 (IST)

סעיפים ג ו-ה. תודה.

סעיף ג- אגף ימין מוכל באגף שמאל. נסה להראות שכל אחד מהמחוברים באגף ימין, (אלה שבסוגריים מרובעים )מוכל באגף שמאל ולכו גם הסכום. אם נכנס פנימה לתוך מחובר שב [] אז הוא בעצמו מורכב מחיתוך של שני ת"מ, אחד מהם מוכל בשני מחוברים באגף שמאל ולכן בחיתוך והשני הוא בדיוק אחד מתתי המרחבים באגף שמאל. ולכן...

להוכיח שאגף שמאל מוכל בימין- איבר כללי באגף שמאל הוא מהצורה [math]\displaystyle{ t=u_1+w_1=w_2+v_1=v_2+u_2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] (ומאיפה מגיעים v_1,v_2,w_1,w_2?). כעת יש לנסות לבטא את t כסכום של שני וקטורים האחד ב [] והשני ב []. --מני 20:06, 14 בינואר 2012 (IST)

לגבי סעיף ה: U חיתוך V מוכל באגף ימין ובאופן דומה מראים גם על האחרים ומסיקים על הסכום.

למה החיתוך שציינתי מוכל באגף ימין? באגף ימין יש ת"מ שבודאות מכילים את U וכאלה שבוודאות מכילים את V לכן החיתוך שלהם מכיל את U חיתוך V . --מני 20:10, 14 בינואר 2012 (IST)

תרגיל מוגבר ביום שני

האם יהיה תרגיל מוגבר ביום שני בבוקר לסטוזנטים של לואי?

תודה מראש :)

כן, ולא רק לסטודנטים של לואי... כולם מוזמנים :) --לואי 11:02, 13 בינואר 2012 (IST)

בקשר לתרגיל 9 שאלה 7.16

בפתרון שלכן כתבתם שעמודות המטריצה הן ווקטורים בF^n ובגלל שהמימד של F הוא n כל קבוצה בת יותר מn איברים היא ת"ל , למה זה נכון? וד"א אני לא מוצא הוכחה לכך שאם מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות במערכת הומוגנית אז קיים הפתרון הלא טריוואלי יש קישור לכך אולי? תוד

תודה

לגבי השאלה השניה- אולי אני מפספס משהו, אבל האם מה שאנחנו עושים בפתרון של השאלה הזו, זה לא בדיוק לספק הוכחה לכך שאם מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות במערכת הומוגנית אז קיים הפתרון הלא טריוואלי?

לגבי השאלה הראשונה- כזכור יש משפט שאומר שבכל בסיס למ"ו מספר האיברים הוא זהה ולמספר הזה אנו קוראים המימד. נניח שהמימד הוא n תניח בשלילה שיש לך קבוצה עם יותר מn וקטורים, נניח k וקטורים, שהיא בת"ל. אם היא בעצמה בסיס תקבל בסיס עם יותר מn וקטורים (k וקטורים) וזה סותר את הגדרת המימד. אם היא אינה בסיס אז אפשר להשלים אותה לבסיס ושוב תקבל בסיס עם אפילו יותר מk וקטורים ובפרט עם יותר מn וקטורים בסתירה לכך שהמימד שווה לn. --מני 16:09, 13 בינואר 2012 (IST)