שינויים
/* הודעות */
--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)
----
הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:
<math>y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0</math>
"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:
<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>
(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>x=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)
נפשט קצת את <math>f(t)</math>:
<math>f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=</math>
<math>=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)</math>
נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:
<math>g(t)=t</math>
ואז ניתן לרשום:
<math>f(t)=2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>
את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
<math>\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)</math>
(השתמשתי בתכונה מהשיעור: <math>\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}</math>)
נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:
<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>
<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>
ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
<math>\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)</math>
המשוואה היא:
<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}+4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>
<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)+4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>
המשך יבוא...
