הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
מ |
|||
שורה 79: | שורה 79: | ||
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | 12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | ||
− | h מתאפסת בשתי נקודות בקטע <math>I</math> ולכן קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1</math>. מש"ל. | + | h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1</math>. מש"ל. |
− | \blacksquare | + | <math>\blacksquare</math> |
גרסה מ־08:17, 1 בפברואר 2012
(המבחן)
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות:
, . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה h על ידי . כעת, נתבונן ב:
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי . h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן . מש"ל.