הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
מ |
מ |
||
שורה 59: | שורה 59: | ||
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2})</math>, ונקבל: | כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac{1}{2})</math>, ונקבל: | ||
<math>y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x</math>. | <math>y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x</math>. | ||
+ | |||
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה. | 8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה. | ||
+ | |||
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>. | 9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>. | ||
שורה 66: | שורה 68: | ||
<math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math> | <math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}</math> | ||
− | קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. | + | קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. |
שורה 77: | שורה 79: | ||
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה. | באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה. | ||
+ | |||
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | 12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in I: h(x)=f(x)-x</math>. | ||
h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1</math>. מש"ל. | h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c \in I: h'(c)=0</math>. לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0\Rightarrow f'(x)=1</math>. מש"ל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. | ||
<math>\blacksquare</math> | <math>\blacksquare</math> |
גרסה מ־08:23, 1 בפברואר 2012
(המבחן)
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות:
, . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.
9) בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה h על ידי . כעת, נתבונן ב:
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי .
h מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נק' בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן . מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.