הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מתוך Math-Wiki
שורה 19: | שורה 19: | ||
נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>. | נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>. | ||
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. | h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. | ||
− | <math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0}</math>. | + | <math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. |
+ | |||
+ | בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0}</math>. | ||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
+ | |||
+ | משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקצייה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>. | ||
+ | |||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== |
גרסה מ־13:23, 3 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת
. נניח כי
גזירה ב-
וגם
וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה
ורציפה בנקודה
. אזי
גזירה ב-
, ונגזרתה שם שווה ל-
.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים
.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב
. לכן
, ובאותו האופן
, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - .
שאלה 3
משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבה
של
. אז
, כאשר
.