פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 1

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצ' המוגדרת בסביבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f'(x_0) \neq 0 }[/math] וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] ורציפה בנקודה [math]\displaystyle{ y_0=f(x_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ונגזרתה שם שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math].

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

לפי ההנחות [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0 }[/math], ובאותו האופן [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} }[/math], ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

[math]\displaystyle{ \lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math] זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

שאלה 2

נגדיר פונ' [math]\displaystyle{ h }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x) }[/math]. h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. [math]\displaystyle{ h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=0f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ \exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1 }[/math].

בנקודה זו מתקיים הדרוש - [math]\displaystyle{ h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0} }[/math].

שאלה 3

משפט טיילור - תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצייה מוגדרת וגזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ S }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אז [math]\displaystyle{ \forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }[/math].