הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==1== תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0</math>. תנאי זה הכ...") |
(←2) |
||
שורה 6: | שורה 6: | ||
==2== | ==2== | ||
+ | ===א=== | ||
+ | ברור כי <math>max\{a_n,b_n\}\geq a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר. | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_nb_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס בהחלט. | ||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
+ | הוכחה: | ||
+ | |||
+ | כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}{a_n}</math>לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור <math>\sum\frac{1}{a_n}</math> מתבדר. | ||
+ | |||
+ | ===ד=== | ||
+ | הפרכה: | ||
+ | |||
+ | <math>a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}{n}</math> מתבדר |
גרסה מ־17:41, 4 בפברואר 2012
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור הוא התכנסות הסדרה לאפס . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור מתכנס, כלומר הטור מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר.
ד
הפרכה:
מתכנס לפי לייבניץ, אבל מתבדר