הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מ (←שאלה 2) |
(←שאלה 5) |
||
שורה 41: | שורה 41: | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
+ | א) סדרה ממשית <math>\left \{ a_n\right \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם): | ||
+ | <math>\forall \epsilon >0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m>N \wedge n>N \rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon )</math> | ||
==שאלה 6== | ==שאלה 6== |
גרסה מ־19:15, 4 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת
. נניח כי
גזירה ב-
וגם
וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה
ורציפה בנקודה
. אזי
גזירה ב-
, ונגזרתה שם שווה ל-
.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים
.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב
. לכן
, ובאותו האופן
, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבה
של
. אז
, כאשר
.
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
שאלה 4
באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא
, ועם תנאי ההתחלה
נקבל
.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום
.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
,
,
ולכן ההעתק המקסימלי הוא
.