הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מ (←שאלה 4) |
(←שאלה 3) |
||
שורה 38: | שורה 38: | ||
<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math> | <math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math> | ||
− | <math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2+f'''(2)(x-2)^3+0+0</math> | + | <math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math> |
− | <math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+(12-8)(x-2)^2+6(x-2)^3</math> | + | <math>=2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3</math> |
− | <math>P_5(x)=-4-2(x-2)+ | + | <math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math>, |
+ | |||
+ | ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי. | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== |
גרסה מ־20:07, 4 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת
. נניח כי
גזירה ב-
וגם
וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה
ורציפה בנקודה
. אזי
גזירה ב-
, ונגזרתה שם שווה ל-
.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים
.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב
. לכן
, ובאותו האופן
, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבה
של
. אז
, כאשר
.
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
,
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. מתקיים ולכן השארית היא 0, כצפוי.
שאלה 4
הפונקצייה בכל מחזור תעלה בדיוק ב
, ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב
בכל פעם של קטע בודד באורך
שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי:.
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור:
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב)ניקח את הסדרה שהאיבר ה-
-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של
(יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל
, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא
, ועם תנאי ההתחלה
נקבל
.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום
.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
,
,
ולכן ההעתק המקסימלי הוא
.