פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 1

ביקשו בכלל את הנגזרת של [math]\displaystyle{ 1/f }[/math] ולא של [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]... אני צריך ללמוד לקרוא.

בכל אופן, הוכחה למה שלא ביקשו:

(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצ' המוגדרת בסביבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f'(x_0) \neq 0 }[/math] וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] ורציפה בנקודה [math]\displaystyle{ y_0=f(x_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ונגזרתה שם שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math].

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

לפי ההנחות [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0 }[/math], ובאותו האופן [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} }[/math], ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

[math]\displaystyle{ \lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math] זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.

[math]\displaystyle{ (\frac{1}{f})'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)} }[/math]

שאלה 2

נגדיר פונ' [math]\displaystyle{ h }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x) }[/math]. h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.

[math]\displaystyle{ h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=0f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ \exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1 }[/math].

בנקודה זו מתקיים הדרוש - [math]\displaystyle{ h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0} }[/math]. מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצייה מוגדרת וגזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ S }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אז [math]\displaystyle{ \forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }[/math].

ב)תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^3-4x^2+2x }[/math]. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - [math]\displaystyle{ f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2^3-4*4+4+(3*4-8*2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3 }[/math],

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים [math]\displaystyle{ R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) }[/math] ולכן השארית היא 0, כצפוי.

שאלה 4

הפונקצייה בכל מחזור [math]\displaystyle{ \pi }[/math] תעלה בדיוק ב[math]\displaystyle{ \pi }[/math], ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב[math]\displaystyle{ \pi }[/math] בכל פעם של קטע בודד באורך [math]\displaystyle{ \pi }[/math] שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי:[math]\displaystyle{ f(x+\pi)=x+\pi+sin(2x+2\pi)=x+sin(2x)+\pi=f(x)+\pi }[/math].

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: [math]\displaystyle{ f'(x)=1+2cos(2x)=0\Leftrightarrow cos(2x)=-\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \, \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \mathbb{N}) }[/math]

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית [math]\displaystyle{ \left \{ a_n\right \}^\infty }[/math] תקרא סדרת קושי אם("ם): [math]\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0 \exists N \in\mathbb{N}\forall m\in\mathbb{N} \forall n\in\mathbb{N}:(m\gt N \wedge n\gt N \rightarrow |a_m-a_n|\lt \epsilon ) }[/math]

ב)ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שהאיבר ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי). היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל [math]\displaystyle{ \pi }[/math], אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא [math]\displaystyle{ v(t)=4-t^2 }[/math] ולכן האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C }[/math], ועם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ C=0 }[/math].

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של [math]\displaystyle{ x(t)=4t-\frac{t^3}{3} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math].

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה [math]\displaystyle{ t=2 }[/math]. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3. [math]\displaystyle{ x(2)=8-8/3=5 \frac{1}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ x(3)=12-9=3 }[/math] ולכן ההעתק המקסימלי הוא [math]\displaystyle{ 5 \frac{1}{3} }[/math].