הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח"
מתוך Math-Wiki
(←שאלה 2) |
(←שאלה 3) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
+ | קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | א. <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n</math>, כאשר <math>a_1=1</math>, ו- <math>a_{n+1}=sin(a_n)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ג. <math>\lim_{x\rightarrow\infty}(sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x})</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ד. <math>\lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===פתרון=== |
גרסה מ־18:09, 8 בפברואר 2012
שאלה 1
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה
ב. הוכח/הפרך: אם אזי
פתרון
א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים ולכן . סה"כ:
ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה , ובמקומות האי-זוגיים :
קל לראות כי , אבל לא קיים הגבול
שאלה 2
נניח כי f פונקציה רציפה ב- , גזירה ב- . בנוסף נתון כי והנגזרת מונוטונית עולה ב- .
א. הוכיחו כי ב- .
ב. הוכיחו כי הפונקציה מונוטונית עולה ב- .
פתרון
א. יהי . נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע . לכן קיימת נקודה כך ש:
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
כפי שרצינו.
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
שאלה 3
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:
א.
ב. , כאשר , ו-
ג.
ד.