הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"
מתוך Math-Wiki
מ (משפטים/אינפי/למת קנטור הועבר להלמה של קנטור) |
|
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012
הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה
, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי
מונוטונית עולה וחסומה על ידי
, ואילו
מונוטונית יורדת וחסומה על ידי
.
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש . לכן
או
וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. (
או
.)
לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות
בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.