משפט קנטור על רציפות במידה שווה

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש

הוכחה

תהי f רציפה על קטע סגור וסופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נניח בשלילה שהיא לא רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

[math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math]

כך שמתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n\rightarrow 0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ |f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon }[/math]

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל[math]\displaystyle{ x_n }[/math] תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ x_{n_k} }[/math] (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה [math]\displaystyle{ y_{n_k} }[/math] יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

[math]\displaystyle{ x'_n-y'_n\rightarrow 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon }[/math]

אבל כיוון שזה קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,

[math]\displaystyle{ \lim f(x'_n)=\lim f(y'_n) }[/math]

בסתירה.