שינויים
3. האמור לעיל ב-1 ו-2 מותנה בכך שהחבורה "השניה" ניתנת לבחירה חופשית. למשל, אין זה נכון שלכל תת-חבורה H_0 של חבורה H קיים הומומורפיזם *מ-H* ל-H שתמונתו H_0; ואין זה נכון שלכל תת-חבורה נורמלית G_0 של חבורה G קיים הומומורפיזם מ-G *ל-G* שגרעינו G_0.
== הומומורפיזם וסדר של אברים ==
כל הומומורפיזם מקיים <math>\ \varphi(x^n) = \varphi(x)^n</math>. לכן, אם ה[[סדר של איבר|סדר]] של x מחלק את n, אז גם הסדר של התמונה שלו מחלקת את n. בפרט, הסדר של <math>\ \varphi(x)</math> מחלק את הסדר של x.
לעומת זאת, מונומורפיזם (כלומר, הומומורפיזם חד-חד-ערכי) שומר על הסדר.
== תאור הומומורפיזמים ==
תהי <math>\ \{g_1,\dots,g_m\}</math> קבוצת יוצרים של חבורה G, ותהי H חבורה כלשהי. כל הומומורפיזם <math>\ f : G \rightarrow H</math> נקבע על-ידי התמונות <math>\ f(g_1),\dots,f(g_m)</math>. מאידך, לא כל בחירה של התמונות מגדירה הומומורפיזם! לתאור מלא של התופעה ראו [[יוצרים ויחסים]].
'''תרגיל''' (89214 תשע"ב מועד א'). כמה הומומורפיזמים יש מה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>\ \mathbb{Z}_{12}</math> ל[[חבורה סימטרית|חבורה הסימטרית]] <math>\ S_5</math>?
'''פתרון'''. הומומורפיזם f כזה נקבע על-ידי תמונת האיבר 1, אבל התמונה מקיימת <math>\ \operatorname{id} = f(0) = f(12) = f(1)^{12}</math>, ולכן היא מסדר המחלק את 12. בחבורה <math>\ S_5</math> יש רק [[מחלקת צמידות]] אחת שהסדר של אברים בה אינו מחלק את 12, ובה 24 אברים; לכן מספר ההומומורפיזמים הוא 120-24=96.
[[קטגוריה:89214]]
