הבדלים בין גרסאות בדף "קמירות"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שוו...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־03:12, 18 במרץ 2012
הגדרה
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a.
באופן דומה, אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב-a.
(ראו גם נקודת פיתול.)
תנאי מספיק
אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת השנייה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a. אם הנגזרת השנייה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.
הוכחה. לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת סביבה של a עבורה לכל c מתקיים . באופן דומה עבור נגזרת שנייה שלילית.