שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(160 גרסאות ביניים של 18 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 3: שורה 3:
=ארכיון=
=ארכיון=
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 1|ארכיון 1]]
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 1|ארכיון 1]]
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 2|ארכיון 2]]
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 2|ארכיון 2]]
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 3|ארכיון 3]]


=שאלות=
=שאלות=




== תרגיל 10- שאלה 8.2 וחצי סעיף ב' - השפעת אי הכלה על מימד  ==


נתון לי שv ו-w מוכלים במרחב שמימדו 10. ולכן אני יודעת שהמימד של v+w יהיה מקסימום 10. בנוסף u+w מכיל ממש את w ו-v . מהי המשמעות של הנתון הנוסף של שv לא מוכל בw על המימד של החיבור שלהם? כלומר איך אי הכלה משפיעה על מימד החיבור? 
תודה.
::הוא משפיע על החיתוך ולכן על מימד החיתוך ולכן עפ"י משפט המימדים גם על מימד הסכום.


תמיד חיתוך של תתי מרחבים מוכל בכל אחד מהם. שוויון מתקיים אם ורק אם...
== אפשר להסביר איפה יהיה השיעור חזרה לא בדיוק הבנתי ==
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:59, 14 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 10- שאלה 8.2 וחצי סעיף ג'- סכום ישר ==
תודה(כאילו מה זה חדר המחלקה?)


צריך להוכיח את עניין "ההצגה היחידה של V או רק לציין זאת כמשפט?
::בנין מתמטיקה, קומה 2, חדר מימין
::אני לא מבין את השאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:29, 14 בינואר 2012 (IST)


== לינארית 10 תרגיל 11.2 ==
== גרעין  ==


מה זה אומר לי (A|b) ?
שלום,
::זו מטריצה המתקבלת ע"י הוספה למטריצה A מימין את הוקטור b (הוספנו עוד עמודה מימין).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:32, 14 בינואר 2012 (IST)
שאני צריכה להוכיח (ker (T שונה מ <0> (בסוגריים מסולסלות) מספיק שאני מראה שיש איבר בקרנל ששונה מאפס?  
תודה.
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:52, 3 בפברואר 2012 (IST)


== מרחב שמכיל רק את ווקטור האפס ==
== הפיכות של מטריצה ==


האם מרחב שיש בו רק את ווקטור האפס המימד שלו=0 ?
אם הוכחתי שכפל AB=I, האם זה מראה שA בהכרח הפיכה? או שמא אני צריך להוכיח גם שBA=I ??
אם כן .. זה מוזר כי 0 פורש את 0 לא?


תודה
תודה ושבת שלום :)
::המימד=0. אמנם <math>\{0\}</math>
פורש את <math>\{0\}</math> אבל <math>\{0\}</math> ת"ל.


זה מסתדר אם זוכרים שמגדירים <math>span(\emptyset)=\{0\}</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:18, 14 בינואר 2012 (IST)
::זה נכון רק עבור מטריצות ריבועיות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:14, 4 בפברואר 2012 (IST)


== לינארית 10 תרגיל 11.7 ==
אבל זאת לא השאלה... לא, לא חייבים, ניתן להניח בשלילה שA אינה הפיכה ואז יוצא שהדט' של A היא 0 ומכאן שהדט' של AB גם 0 ומכיוון ש-AB=I אז הדט של AB חייב להיות שווה לדט' של I שהיא n (טבעי) ולכן יש סתירה --> A הפיכה.


אפשר איזשהו כיוון לפתירת השאלה?
::יופי. אבל דטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות! מה שמחזיר אותנו לתשובתי המקורית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:46, 6 בפברואר 2012 (IST)
::<math>A^{-1}</math> קיימת ומשפט הנוגע לדרגה. שוויון אפשר לקבל דרך שני אי שוויונים שאחד יש לנו בחינם (למה?)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:41, 14 בינואר 2012 (IST)


== בקשר למימדים ==
== שאלה ממבחן ==


נניח יש לי מרחב ווקטורי מסויים V ממימד 10
תהיו A,B מטריצות מגודל n*n צ"ל: dimcspanAB=dimcspanB-dim(nullA^cspanB התחלתי את הפיתרון בשימוש משפט המימדים ולפני תנאי  dimnullA+rankA=n והגעתי לזה rankA>=dimcspan-dim(nullA^cspanB  האם זה הכיוון או שממש לא?
W,V תתי מרחב V=4 W=5 הכוונה למימדים


האם W+V מימדו הוא 5 ומעלה וגג 10?
== שאלה על שדות ==
W חיתוך U יכול להיות במקסימום V (כלומר המקסימום הוא הקטן מביניהם?)


תודה
עבור שדה כלשהו <math>\mathbb F</math>, האם יש משמעות ל-<math>1/2</math>?
כוונתי לאיבר <math>(1_\mathbb F+1_\mathbb F)^-1</math>, כך שיתנהג כמו <math>1/2</math>. תודה.


::טוב, יש כאן בלבול מטורף בין U ל- V ל-W.. אבל אם אני מבינה את השאלה נכון: <math>U,W \subseteq V</math> תתי מרחב, מתקיים: <math>dim(U+W) \leq dimV</math> וכן:
:לא בהכרח קיים כזה, למשל בשדה ממאפיין 2. מעבר לזה יש לזה שימוש בהוכחות לעיתים, למשל שפונקציה זוגית וגם אי זוגית היא בהכרח פונקצית האפס (שוב, מעל שדה שאינו ממאפיין 2) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
<math>
ומה קורה בקשר לחיתוך ולמקרה אחד מוכל בשני? תודה
  max\{dim(U),dim(W)  \}\leq dim(U+W)</math> --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:37, 15 בינואר 2012 (IST)


== בקשר למימד החיתוך ==
== מבחן ברביעי ==


זה לא כל כך נתן לי לערוך את השאלה הקודמת אז מה קורה בקשר לטווח של מימד החיתוך במקרה הכללי ובמקרה שאחד מוכל או לא מוכל בשני?
מתי יפרסמו שעות ומיקום הבחינה ברביעי?
תודה
::<math>U\cap W\subseteq U,W</math> לכן תמיד <math>dim(U\cap W)\leq \min\{dim(U),dim(W)\}</math>


אם למשל <math>U\subseteq W</math> אז <math>U\cap W=U</math> ולכן  <math>dim(U\cap W)=dim(U)</math>.
== משפט ההגדרה ==


אם <math>U\nsubseteq W</math> אז <math>U\cap W\subsetneq U</math> ולכן <math>dim(U\cap W)<dim(U)</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:20, 16 בינואר 2012 (IST)
גיליתי שהסתבכתי לגמרי עם המשפט הזה (העתקות ליניאריות, כמובן). מה המשפט בדיוק? תודה רבה, אריאל.
::המשפט מופיע בעמ' 54 לאחר תרגיל 1.26. אפשר לקרוא אותו ואם יש עליו שאלות ספציפיות אשמח לענות.  --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:52, 5 בפברואר 2012 (IST)


== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==
== מימד מרחב השורות/עמודות ==


בשאלה הזו מדובר על מטריצה <math>A</math> ריבועית?
אם מבקשים ממני להוכיח שמימד מרחב השורות והעמודות של מטריצה כלשהי שווים, זה בסדר אם לקחתי פשוט מטריצה כללית כלשהי מגדול mxn, והראתי שאחרי דירוג מתקבלים או עמודות אפס או שורות אפס...
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:19, 15 בינואר 2012 (IST)
פילגתי את המקרים לפי m>n, m<n, m=n. ואז הגעתי למסקנה הדרושה...


::::תודה
האם זוהי הוכחה ? או שיש דרך אחרת שצריך לגשת לתרגיל?


== תגבור ==
תודה רבה!
::לא כ"כ ברור לי האם השאלה כאן היא על הוכחת המשפט הכללי: <math>dim(R(A))=dim(C(A))</math>?
אם כן אז בתרגיל 11.4 בעמ' 48 יש הצעה להוכחת המשפט שנראית די אלגנטית. קצת קשה לי להגיד אם ההוכחה שלך טובה כי היא לא ברורה לי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:59, 5 בפברואר 2012 (IST)


קיבלתי מייל, אבל המיקום לא ברור לי. איפה תהייה הכיתה? תודה.


לא מתרגלת- היי, דווקא הייתה על זה התכתבות במייל ובפייסבוק :/ לא קיבלת? ..יתקיים ב 211/112. זה  בחדר המחלקה לכימיה :)  
אני אנסה להסביר את ההוכחה, כי סתם מעניין אותי להבין למה היא לא תקפה :)
לקחתי מטריצה מגודל mxn. מטריצה כללית כמובן בלי שום הגבלות. לאחר מכן דירגתי אותה. ישנם שלוש אפשרויות שונות לדירוג:


== הוכחות בסכום ישר ==
m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים.


אם מבקשים ממני להוכיח ששני תתי מרחב של R^n , הסכום הישר שלהם = R^n מה בעצם אני צריך להוכיח?
n<m : ואז יש יותר שורות ולכן יש שורות אפסים.
תודה
::שכל איבר בR^n שייך לסכום ז"א קיימים <math>u\in U, v\in V</math> כך שהאיבר= u+v


דבר שני שהחיתוך הוא בדיוק מרחב האפס (לפעמים אפשר לקבל את זה דרך משפט המימדים מוכיחים שמימד החיתוך שווה לאפס ואז ממילא החיתוך הוא בדיוק מרחב האפס ) --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:56, 17 בינואר 2012 (IST)
m=n : ומכאן פשיטא שמדובר בכך ש : dim (r(A)) = dim (c(A)) .


== בקשר לtrace של מטריצה ==
מכאן אנחנו מקבלים סוג של מטריצה שנראת כמו מטריצת הזהות ומתחתיה כמה שורות של אפשים ( או עמודות) ואין הם תורמים לבסיס, לכן הם לא תורמים גם למימד. מכן שהמימד שווה למטריצה היחידה שנוצרת - בעצם כמות העמודות/שורות בת"ל...::


נתונות לי שתי מטריצות A,B שתיהן n*n ואומרים לי שאם ל A קיימת הופכית
מצטער על הניסוח של ההוכחה, אבל זה נראה לי פשוט מדי, לא כן?
צ"ל trace(B)=trace(AB(A^-1)


עכשיו עקב זה שA הפיכה זה לא הופך את צד ימין לtrace(B)?


ומה הכיוון  שני אי שיוונים? או משהו אחר ?


תודה
תודה ולילה טוב :)
:: <math>trace(CD)=trace(DC)</math>
לכל זוג מטריצות. זה דבר שהוכחנו בתרגול. אם מציבים C וD מתאימים בתרגיל הנ"ל מיד מקבלים את הפתרון.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:59, 17 בינואר 2012 (IST)


== פתרון תרגיל 10 ==
--[[משתמש:Dvir1352|Dvir1352]] 23:04, 5 בפברואר 2012 (IST)
::הדירוג שאתה מדבר עליו הוא דירוג שורות או דירוג עמודות? לא ברורה לי הטענה:" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."
למשל במטריצה עם שורה אחת ושתי עמודות <math>(34)</math> יש יותר עמודות משורות והיא מדורגת שורה ואין בה שורות אפסים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:11, 5 בפברואר 2012 (IST)


האם תוכלו בבקשה להעלות פתרון לתרגיל 10?
::הועלה. תיהנו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:59, 17 בינואר 2012 (IST)


== תרגיל 11 שא 1.8 ==
" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."(התכוונתי יותר עמודות ולכן יש '''עמודות''' אפסים) m זה השורות וn העמודות... אם m גדול מn ז"א שאחרי דירוג (דירוג מטריצה עד לקנונית הכוונה) נקבל מצב בו יש (ע"פ הגדרת המטריצה המדורגת קנונית) שורות שבה כמו מן מדרגות יש אחדים ואחר כך אפסים...
אם ישנם יותר שורות מעמודות, יהיו שורות אפסים, ושוב מאחר והם לא תורמים למימד מימד השורות שווה למימד העמודות...


הי, מה המשמעות C מעל C ומעל R?
סורי על הניסוח הכושל D: תודה רבה!
ניחוש: יעני בC האיבר הכללי הוא A+Bi ובR זה (A,B)?
--[[משתמש:Dvir1352|Dvir1352]] 23:40, 5 בפברואר 2012 (IST)
צדיקים אתם
::אוקיי אני מסכים שבדירוג הקנוני השורות שאינן שורות אפסים מהוות בסיס למרחב השורות. עדיין לא הבנתי איך רואים שמספרן כמספר עמודות הבת"ל. נראה לי שבפורום זה קצת קשה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 00:39, 6 בפברואר 2012 (IST)
אפרת
::במ"ו יש חיבור של וקטורים ויש כפל של סקלר מהשדה עם וקטור מהמרחב הוקטורי. מעל C הכונה שהסקלרים מגיעים מC ומעל R שהסקלרים מגיעים מR. בשני המצבים  C מעל C וC מעל R ההגדרה של C היא אותו דבר:  המספרים המרוכבים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:44, 18 בינואר 2012 (IST)


== בקשר לrank ==


עבור המטריצה A^n*m
אזי m=rank(A) +rank(Null A) א. האם השיוויון הזה נכון והצד הימני זה המשתנים החופשיים? ואם זה נכון מה הקשר למימד מרחב הווקטורים המאפסים?
תודה


טוב, תודה, אנסה להגיע ביום שלישי ולהסביר את טענתי :)


::אין משמעות לביטוי <math>rank(Null(A))</math>, ויש ניסוח תקני ומלא של משפט זה הן בסיכומי התרגול והן בהרצאות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:41, 21 בינואר 2012 (IST)
== מתכונן למבחן ==
במבחן הזה[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/TAU/LA1_Alesker_2011_06_MA.pdf], שאלה 2 ב'. חשבתי על פתרון ואני לא בטוח אם הוא נכון! בניתי העתקה לינארית ממרחב המטריצות הריבועיות אל F (סקלרים) שהיא העתקה לינארית: [http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\T:F^{nxn}%20\to%20F%20\\T(X)=tr(PX)].


== פתרונו מבחנים ==
מה שאנחנו צריכים למצוא מהשאלה זה מימד הגרעין של אותה העתקה, ולפי משפט הדרגה הוא שווה למימד של מרחב המט' פחות מימד התמונה. ולכן הוא שווה ל <math>n^2-1</math>.


הי, מה הסיכוי שתעלו תשובות (אפילו חלקיות, כיוונים וספוילרים) של המבחנים של רזניקוב באתר? נגיד שנדע אם זה הוכחה או הפרכה...
הפתרון הזה נכון? ובנוסף, יש פתרון קל וקצר יותר?
::זה נראה לי הפתרון הקצר ביותר (האמת שקשה לי לחשוב בכלל על פתרון אחר). בכל מקרה חסר משהו בפתרון והוא להראות שמימד התמונה=1. מכיון שהתמונה היא ת"מ של <math>\Bbb R</math> מ"ל שההעתקה אינה העתקת האפס. זה נכון כי <math>P^{-1}</math> מועתקת ל <math>n\neq 0</math> וזה משלים את ההוכחה.
צריך להשתמש בכך ש<math>P</math> הפיכה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:24, 6 בפברואר 2012 (IST)


תודה, שב"ש
מני, אני מרפרף על כל מני מבחנים, וממש קשה למצוא שאלות ממש קשות, אתה יכול להפנות אותי לכמה?
::מצטער. אין לי מאגר סודי של מבחנים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:38, 6 בפברואר 2012 (IST)


::אנחנו הולכים לפתור את מרבית המבחנים בשיעורי החזרה (ולא מעט כבר פתרנו). אם יש שאלה ספציפית - נשמח לענות. לואי ומני
== בקשר למימדים של תתי מרחב ==


איזה זכות.. גם לואי וגם מני.. תודה
האם לכל שני תתי מרחבים W,V
Dim(W)+Dim(V)>=Dim(V+W)
?
תודה


== מימד של מטריצה ==


איך מוצאים את המימד של מרחב המטריצות המשולשיות בהחלט מסדר NXN?האם אפשר לבצע ספירת איברים במטריצה?אם כן,למה?מה הקשר לעמודות בת"ל?
אם אני לא טועה זה צריך להיות dim(v+w)=dim(v)+dim(w)-dim(u^w)  ...
----


::זה פתור ומוסבר באחד הפתרונות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:44, 21 בינואר 2012 (IST)
זה משפט המימדים באופן כללי אני מדבר על כל שני תתי מרחב
::אכן אי השוויון מתקיים ואפשר לראות אותו ע"י משפט המימדים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:18, 6 בפברואר 2012 (IST)


== בקשר לסימונים ==


כאשר כותבים לי התת מרחב
== שאלה מהמבחן ==
U={(x1,...,xn)| x1+...+xn=0
חלק א', שאלה 2: [http://math-wiki.com/images/8/8d/11Linear1testA.pdf] יש מספר דרכים דיי גדול לפתור שאלה זו, יש לי פתרון דיי קצר, אבל אני לא בטוח אם היו מקבלים אותו:


זאת אומרת שסכום הרכיבים בכל ווקטור של U הוא 0 ?
<math>AB=I</math> לכן <math>|AB|=|I|=n</math> מכיוון ו-n טבעי אז הדט' שונה מ-0, ולכן בהכרח <math>|A|\neq 0</math> וגם <math>|B|\neq 0</math> אז B הפיכה ולכן קיימת מט' C כך ש- <math>BC=I</math>. נכפול משמאל ב-A: <math>C=IC=ABC=AI=A</math> ויוצא ש- <math>BA=I</math>.
תודה


::כן. בבקשה :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:45, 21 בינואר 2012 (IST)
אז זה פתרון שהיה מתקבל במבחן?
:: אני גם לא בטוח שהיו מקבלים אותו כי לא למדנו דטרמיננטות.


== העתקה הפיכה ==
שתי דרכים אופציונליות: א. (סקיצה של הוכחה) אם <math>AB=I</math> ניתן להוכיח ש <math>A</math> אינה שקולת שורה למטריצה עם שורת אפסים בשל השוויון <math>AB=I</math>. כעת הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא I או שיש בה שורת אפסים (אחת או יותר) לכן לפי הנ"ל הצורה הקנונית של A היא I. לכן קיימת מטריצה הפיכה C (מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות) כך ש <math>CA=I</math>. להוכיח ש<math>B=C</math> אפשר בדרך שתוארה קודם.


אם יש לי העתקה <math>T</math> כלשהי שהיא חח"ע ועל (הפיכה) אזי בהכרח <math>T</math> לינארית?
ב.לטובת מי ששאל אותי בשעות קבלה בהקשר של העתקות ליניאריות <math>AB=I </math> גורר ש <math>T_AT_B=I</math> לכן ההעתקה הליניארית  <math>T_B</math> חח"ע וההעתקה  <math>T_A</math> על אבל שתי העתקות הן מ<math>F^n</math> לעצמו ולכן חח"ע שקול לעל. מכאן למשל  <math>T_A</math> חח"ע ולכן יש לה גם הופכית שמאלית אבל בדומה להוכחה א ניתן להראות שההופכית הימנית שוה לשמאלית ומכאן <math>T_BT_A=I</math> ולכן <math>BA=I</math>
ג. ראינו בכיתה (בשיעור האחרון לפני שיעור החזרה לדעתי)
עוד הוכחה באמצעות העתקות ליניאריות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:03, 7 בפברואר 2012 (IST)


:התשובה היא לא. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:46, 21 בינואר 2012 (IST)
1)אני כן למדתי דטרמיננטות.


== דרגה של מטריצה ==
2) כל עוד לא אמרו לי להוכיח דט' מותר להשתמש בכל משפט שקיים, אפילו מאלגברה לינארית 2. (אני זוכר שאיזה מרצה/ מתרגל אמר את זה)


היי, אני תמיד מתבלבלת עם זה, זה משהו שחוזר על עצמו בתרגול, ולא נפל לי האסימון לגביו תוכלו להסביר ולפשט לי את המשפט:
3)אין לי מושג מה "אנחנו למדנו" כי אני למדתי את זה בקיץ ואני עושה מועד ג', אז בבקשה תרחיב.
תהי A מטריצה Mm*n שורותיה של מטריצה זו הם וקטורים בF^n עמודותיה של A הם וקטורים בF^m.
1. זה אומר בעצם שהוקטורים של השורות לקוחים ממרחב העמודות ולהיפך?
2. מה חשוב לדעת לגבי זה? במה זה מתבטא? 


תודה :)
אני יכול גם במקום זה פשוט לכתוב שבגלל ששורות AB בת"ל וגם <math>F^n=R(AB)\subseteq R(B)\subseteq F^n</math> ולכן שורות B פורשות את המרחב וגם מספרן הוא n ולכן בסיס ולכן בת"ל ולכן B הפיכה.
:: המשפט:"תהי A מטריצה Mm*n שורותיה של מטריצה זו הם וקטורים בF^n עמודותיה של A הם וקטורים בF^m. 1. " אכן נכון. קחי מטריצה ספציפית לדוגמא למשל 2*3 ותשתכנעי בקלות.
1. זה לא אומר שהוקטורים של השורות לקוחים ממרחב העמודות. מה שניתן להסיק הוא  שמרחב השורות (שלפי הגדרה הוא תת המרחב הנפרש ע"י השורות) הוא ת"מ של F^n ומרחב העמודות הוא ת"מ של F^m.  


2. אחרי שיודעים שהדרגה=מימד מרחב השורות=מימד מרחב העמודות ויש נתון מסוים על הדרגה אפשר להסיק הרבה דברים. לדוגמא:אם הדרגה שווה בדיוק לm אז זה אומר שהמימד של מרחב העמודות הוא בדיוק m ולכן מרחב העמודות הוא בדיוק F^m כמו כן זה אומר שיש m עמודות בת"ל וm שורות בת"ל. מספר השורות במטריצה הוא  בדיוק m ומכאן אפשר להסיק ששורות המטריצה בת"ל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:10, 21 בינואר 2012 (IST)
== מבנה המבחן ==


*במקרה שציינת, זה מעיד לי גם על הפיכות?
מה מבנה המבחן האם הוא כמו המבחן של רזניקוב משנה שעברה?
::יש 3 שאלות ללא בחירה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:51, 7 בפברואר 2012 (IST)


**::אם המטריצה ריבועית  - כן. אם שורותיה בת"ל (או עמודותיה) אז היא הפיכה. אם המטריצה לא ריבועית - אז זה מעיד על הפיכות מאחד הצדדים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:12, 24 בינואר 2012 (IST)
תודה!!!
נ.ב כמה זמן זה?


== לא ברור לי הנתון בשאלה הזו ==
== מהחוברת של בועז צבאן: עמוד 42 תרגיל 7.17 ==


יהי V מרחב ווקטורי מעל שדה Z2 משני איברים
צריך להוכיח שקילות בין שני תנאים:


מה זה אומר? תודה
א. <math>B</math> בסיס.


::זהו מרחב ווקטורי שבו הסקלרים מגיעים מהשדה <math>\mathbb{Z}_2</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 13:07, 22 בינואר 2012 (IST)
ב. <math>0_V \in B</math> ...


מה זאת אומרת משני איברים?
איך אפשר להוכיח בין שני התנאים? הרי אם <math>0_V \in B</math> אז <math>B</math> לא בסיס...
::זו שאלה שיש בה טעות. פתרנו אותה בתרגול אמור להיות רשום 0 לא שייך לB. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:50, 7 בפברואר 2012 (IST)


::ב-  <math>\mathbb{Z}_2</math> יש שני איברים... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 10:24, 24 בינואר 2012 (IST)
תודה


== ציוני בחנים ==
== אורך המבחן ==


כמה זמן הוא המבחן והאם בשביל תוספת הזמן אני צריך להביא את האישור המקורי או שאפשר העתק?
::אני לא בטוח לגבי הזמן. בכל מקרה תשאל את מלי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:05, 7 בפברואר 2012 (IST)


== מציאת בסיס של קבוצה סופית נפרשת ==


מתי יועלו ציוני הבחנים? ומה יהיה החומר לבוחן הקרוב ביום חמישי?
שלום,
במידה ונתונים לי ווקטורים  {S = {v1, v2, v3 כאשר מבצעים (Span(S.
במידה ורשמתי את הווקטורים הנתונים v1, v2,v3 כעמודות במטריצה ודרגתי (לפי הדירוג שורות הרגיל), (כגון שמראש נתבקשתי לבדוק האם ווקטור כל שהוא נמצא במרחב הנפרש ע"י קבוצה זו שאז אני רושם את הווקטורים כעמודות ואת הווקטור אותו אני בעמודת הפתרונות ובודק האם קיים צירוף ליניארי וכו'). האם ניתן מהמצב המדורג למצוא את הבסיס של המרחב?
מקווה שהשאלה ברורה..
תודה!


תודה רבה ולילה טוב !
::החומר תרגילים 9-10. אני מניח שהציונים יעלו מחר, בלי נדר. בכל מקרה הבחנים מחולקים בשעת התרגול. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:19, 22 בינואר 2012 (IST)


== מטריצה רגולרית/הפיכה:  ==


היי,  
לאחר דירוג מט' (ששורותיה הם S) מקבלים מט' שכל אחד מוקטורי השורה שלה שווים  לצ"ל מסויים (ויחיד) של איברי S כך שהסקלר של אותה מספר השורה שונה מ-0 (<math>u_i=\alpha_1v_1+...+\alpha_iv_i+...+\alpha_nv_n</math> וגם <math>\alpha_i\neq0</math>). בכל מקרה, מה שיוצא לך בשורות לאחר הדירוג הקנוני אלו הם וקטורים בת"ל, לא בהכרח יוצא שהדירוג הקנוני הוא I ולכן לא בהכרח זהו בסיס של המרחב.
תהי A  מטריצה הפיכה האם על כל מטריצה רגולרית ידועים הפרטים הבאים:


1. ב-A אין שורת אפסים
אני לא בטוח שהסברתי את עצמי כראוי.
כשכתבתי למצוא את הבסיס של המרחב התכוונתי לתת מרחב של F^n אליו שייכים הווקטורים v1-v3; כלומר span של קבוצה תמיד פורש מרחב ווקטורי ולמצוא בסיס הכוונה למצוא קבוצה בת"ל מקסימלית הפורשת את אותו מרחב שה-span של קבוצת הווקטורים הנתונה נותן (יתכן ומרחב זה יהיה חלקי ל- F^n )  במצב כזה מה שידוע לי שניתן לעשות זה לרשום את הווקטורים של הקבוצה הנתונה כווקטורי שורה במטריצה ולדרג, הווקטורים שהתקבלו הם הבסיס של תת המרחב הנפרש ע"י קבוצה זו. השאלת אליה התכוונתי היא, כאשר רשמתי את הווקטורים של הקבוצה הנתונה, כעמודות במטריצה (כגון במצב שתיארתי בשאלה המקורית) ודירגתי (דרוג שורות רגיל), האם אני יכול להסיק על הבסיס של תת המרחב? (כמו שהייתי יכול להסיק אם הייתי רושם את הווקטורים כשורות במטריצה ומדרג).
מקווה שעכשיו זה יותר ברור.. תודה!


2. אינה שקולה למטריצה עם שורת אפסים
אם זה עמודות מט', אז זה יעבוד רק אם הם בת"ל, אחרת צריך לשים אותם בשורות המט', זה כי אתה עושה פעולות שורה ולכן צ"ל של הוקטורים.
3. שקולת שורה ל-I


== שאלה ממבחן ==


האם יש צורך להוכיח את הדברים הללו או שהם בגדר משפטים?  
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf
אני מנסה לפתור את סעיף ג'..
חשבתי על כך שבעצם דרוש לנו: ImT=KerR מסעיף קודם קיבלתי ש.. 2 =(dim(kerT
כך שלפי דעתי יש בעצם 2 אפשרויות לT ולכן מימד V הוא 2..
שינוי לאן שולחים את שני הוקטורים השייכים לImT.. יש 2 אפשרויות לוקטורים ב-kerT
או שיש אפשרות לשלוח את שניהם לאותו וקטור ואז המימד בכלל 4..


::זה נכון, הוכחנו את כל זה בתרגול. האם יש צורך להוכיח? תלוי מה מבקשים. אם יש ספק (באם מותר להשתמש בזה או לא) - עדיף לשאול את המרצה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 10:15, 24 בינואר 2012 (IST)
אשמח לעזרה איך פותרים!


== שאלה על הפיכות  ==
מכיוון ולכל שתי הע"ל שונות יש מט' מייצגות שונות אז נמצא את המימד של V רק שנחליף את R,T,O ב-<math>[R]^S_S,[T]^S_S,[O]^S_S</math> ואז אם נותנים משתנים לכל איבר במט' המייצגת של T מקבלים שצריך לבחור 8 משתנים מתוך 16=4x4 זאת אומרת DimV=8.


תעשו לי סדר- מתי צריך להראות הפיכות משני הצדדים ומתי רק מצד אחד?
== שאלה על המבחן ==


::במטריצה ריבועית מספיק להראות הפיכות מצד אחד (לפי משפט שהוכחתם). כאשר המטריצה לא ריבועית, יכולות להיות לה שתי מטריצות הופכיות: אחת מימין ואחת משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 10:18, 24 בינואר 2012 (IST)
למה נותנים מבחן שיותר קשה מכל מבחן שנמצא כאן: [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D] ובאתר של בועז ורזניקוב?
המבחן היה הרבה יותר מדי קשה, פתיר! אבל קשה. מה עליי לעשות/להשיג כדי שיעשו מועד נוסף שיהיה קל בהרבה? אני מרגיש שכל מה שפתרתי לא הכין אותי בכלל למבחן הזה.


== RANKים  ==
::היינו שמחים לעזור אבל אנחנו לא הכתובת. מני ולואי
מסכימה עם כל מילה שלך. מבחן קשה מאוד. אנחנו חייבים להפנות את הטענות שלנו לאוזניים הנכונות בתקווה למצוא איזשהו פתרון.


איך מנמקים את זה ש(RANK (PA קטן שווה (RANK (A?  
האם יש סיכוי לפקטור או משהו בסגנון?
כאשר P מסמלת מטריצה הפיכה של A ששייכת ל F^n*n
תודה.


::השאלה לא ברורה. אם A היא המטריצה ההופכית של P, הרי ש- PA=I ולכן הדרגה שלה היא n. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 10:21, 24 בינואר 2012 (IST)
== תוכלו להעלות את המבחן? ==


== שורות/עמודות בת"ל ==
:המבחן היה שאלון סגור...
::אז מתרגלים?
::אין לנו את המבחן. אני מניח שהמרצה יעלה את המבחן עם הפתרונות בימים הקרובים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 00:33, 12 בפברואר 2012 (IST)


אם שורות של מטריצה מגודל m*n בת"ל אז זה אומר שגם שהעמודות שלה בת"ל ולהפך?
== מטריצה הופכית של משולשית עליונה ==
::לא. מספר השורות בת"ל=מס' העמודות בת"ל=דרגת המטריצה.


לכן למשל במטריצה (12)  
איך מראים שגם היא משולשית עליונה?
שבה שורה אחת  ושתי עמודות. השורה היא בת"ל כלומר מספר שורות הבת"ל=1 וזה שווה למספר העמודות בת"ל
:אפשר באמצעות הנלווית (Adj) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
אבל שתי העמודות כן תלויות ליניארית.


הטענה שלך נכונה רק  במטריצה ריבועית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:29, 24 בינואר 2012 (IST)
== שאלה קשה ==


== קבוצה סופית של וקטורים בת"ל ==
נתון <math>A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^2+B^2=AB</math>, וגם <math>AB-BA</math> הפיכה.


האם הגדרה הזאת נכון?
צ"ל ש-n מתחלק ב-3.
קבוצת הוקטורים {v1....vn} בת"ל אם השויון c1v1+.....+cnvn גורר שלכל i בין 1 ל ci=0 n
: מהנתון נובע ש- <math>\ A^3+B^3=0</math>, מה שמוביל לשער טענה חזקה יותר: אם יש מטריצות ממשיות מסדר n-על-n כך ש-<math>\ A^3+B^3=0</math> ו-<math>AB-BA</math> הפיכה, אז n מתחלק ב-3 (כאן המספר 3 "מוסבר" על-ידי ההנחות). עם זאת, הטענה החזקה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמא <math>\ A = e_{21}-e_{12}-e_{22}, B = e_{21}+e_{22}-e_{12}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:43, 11 במרץ 2012 (IST)
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 25 בינואר 2012 (IST)


== בירור סימון ==
== עוד שאלה לא סטנדרטית ==


ממה שראיתי בתרגיל, זה-<math>\mathbb R_n[x ]</math> פירשו מרחב הפולינומים ממעלה <math>n</math> ומטה.
נתבונן באוסף כל המטריצות מגודל סופי מעל שדה נתון.
אבל ראיתי במקומות אחרים שזה דווקא פולינומים שמעלתם קטנה מ<math>n</math>.
האם קיימות שתי פעולות שביחס אליהן אוסף זה הוא מרחב וקטורי?


תודה.
:כן, הסכום של כל שתים וכפל בכל סקלר נותן את מטריצת האפס מגודל אחד על אחד (: --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::איבר אדיש לחיבור? כפל יחידה?
:::כן, זו לא הייתה הצעה הגיונית כל כך. את הכפל בסקלר אפשר לתקן, אבל אין נייטרלי לחיבור. ובכן, ניתן למצוא העתקה חח"ע ועל מקבוצת כל המטריצות מגודל סופי לשדה וכך להגדיר מ"ו באופן מאולץ משהו. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
::::הסְבֵר? (דרך לא מוצלחת להדגיש את הדו-משמעות של ציווי ושם עצם, כשמתייחסים לצורות ביטוי שונות)
: הדרך הטובה ביותר היא לחשוב על כל מטריצה כאילו היא מוצבת בפינה השמאלית-עליונה במטריצה אינסופית שכולה אפסים. בשיטה הזו מטריצה בגודל 5x5 היא אוטומטית גם מטריצה 6x6 ו-7x7 וכן הלאה, ולכן אפשר לחבר ולהכפיל כל שתי מטריצות (ובוודאי שאפשר להכפיל כל מטריצה בסקלר).
: אם מעוניינים רק במרחב וקטורי, אפילו האוסף של כל המטריצות הוא כזה. אם רוצים אפשרות להכפיל מטריצות, הוא גדול מדי (כפל של שורה בעמודה ידרוש סיכום אינסוף מכפלות, וזה לא מוגדר מעל שדה כללי, ולא מוגדר בדרך כלל אפילו מעל שדות מיוחדים). הפתרון לעיל מסתפק באוסף המטריצות הסופיות. אפשר לדמיין גם מרחבי-ביניים, קצת גדולים יותר, שבהם הכפל עדיין מוגדר היטב. למשל, המטריצות (האינסופיות) שכל שורה שלהן סופית, או אלו שכל עמודה שלהן סופית. ויש עוד הרבה אפשרויות אחרות (מסובכות יותר; מספרן אינו בן-מניה). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:12, 18 במרץ 2012 (IST)

גרסה אחרונה מ־17:12, 18 במרץ 2012

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

ארכיון 2

ארכיון 3

שאלות

אפשר להסביר איפה יהיה השיעור חזרה לא בדיוק הבנתי

תודה(כאילו מה זה חדר המחלקה?)

בנין מתמטיקה, קומה 2, חדר מימין

גרעין

שלום, שאני צריכה להוכיח (ker (T שונה מ <0> (בסוגריים מסולסלות) מספיק שאני מראה שיש איבר בקרנל ששונה מאפס?   תודה.

כן. --מני 10:52, 3 בפברואר 2012 (IST)

הפיכות של מטריצה

אם הוכחתי שכפל AB=I, האם זה מראה שA בהכרח הפיכה? או שמא אני צריך להוכיח גם שBA=I ??

תודה ושבת שלום :)

זה נכון רק עבור מטריצות ריבועיות. --לואי 14:14, 4 בפברואר 2012 (IST)

אבל זאת לא השאלה... לא, לא חייבים, ניתן להניח בשלילה שA אינה הפיכה ואז יוצא שהדט' של A היא 0 ומכאן שהדט' של AB גם 0 ומכיוון ש-AB=I אז הדט של AB חייב להיות שווה לדט' של I שהיא n (טבעי) ולכן יש סתירה --> A הפיכה.

יופי. אבל דטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות! מה שמחזיר אותנו לתשובתי המקורית...--לואי 19:46, 6 בפברואר 2012 (IST)

שאלה ממבחן

תהיו A,B מטריצות מגודל n*n צ"ל: dimcspanAB=dimcspanB-dim(nullA^cspanB התחלתי את הפיתרון בשימוש משפט המימדים ולפני תנאי dimnullA+rankA=n והגעתי לזה rankA>=dimcspan-dim(nullA^cspanB האם זה הכיוון או שממש לא?

שאלה על שדות

עבור שדה כלשהו [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math], האם יש משמעות ל-[math]\displaystyle{ 1/2 }[/math]? כוונתי לאיבר [math]\displaystyle{ (1_\mathbb F+1_\mathbb F)^-1 }[/math], כך שיתנהג כמו [math]\displaystyle{ 1/2 }[/math]. תודה.

לא בהכרח קיים כזה, למשל בשדה ממאפיין 2. מעבר לזה יש לזה שימוש בהוכחות לעיתים, למשל שפונקציה זוגית וגם אי זוגית היא בהכרח פונקצית האפס (שוב, מעל שדה שאינו ממאפיין 2) --ארז שיינר

מבחן ברביעי

מתי יפרסמו שעות ומיקום הבחינה ברביעי?

משפט ההגדרה

גיליתי שהסתבכתי לגמרי עם המשפט הזה (העתקות ליניאריות, כמובן). מה המשפט בדיוק? תודה רבה, אריאל.

המשפט מופיע בעמ' 54 לאחר תרגיל 1.26. אפשר לקרוא אותו ואם יש עליו שאלות ספציפיות אשמח לענות. --מני 20:52, 5 בפברואר 2012 (IST)

מימד מרחב השורות/עמודות

אם מבקשים ממני להוכיח שמימד מרחב השורות והעמודות של מטריצה כלשהי שווים, זה בסדר אם לקחתי פשוט מטריצה כללית כלשהי מגדול mxn, והראתי שאחרי דירוג מתקבלים או עמודות אפס או שורות אפס... פילגתי את המקרים לפי m>n, m<n, m=n. ואז הגעתי למסקנה הדרושה...

האם זוהי הוכחה ? או שיש דרך אחרת שצריך לגשת לתרגיל?

תודה רבה!

לא כ"כ ברור לי האם השאלה כאן היא על הוכחת המשפט הכללי: [math]\displaystyle{ dim(R(A))=dim(C(A)) }[/math]?

אם כן אז בתרגיל 11.4 בעמ' 48 יש הצעה להוכחת המשפט שנראית די אלגנטית. קצת קשה לי להגיד אם ההוכחה שלך טובה כי היא לא ברורה לי. --מני 20:59, 5 בפברואר 2012 (IST)


אני אנסה להסביר את ההוכחה, כי סתם מעניין אותי להבין למה היא לא תקפה :) לקחתי מטריצה מגודל mxn. מטריצה כללית כמובן בלי שום הגבלות. לאחר מכן דירגתי אותה. ישנם שלוש אפשרויות שונות לדירוג:

m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים.

n<m : ואז יש יותר שורות ולכן יש שורות אפסים.

m=n : ומכאן פשיטא שמדובר בכך ש : dim (r(A)) = dim (c(A)) .

מכאן אנחנו מקבלים סוג של מטריצה שנראת כמו מטריצת הזהות ומתחתיה כמה שורות של אפשים ( או עמודות) ואין הם תורמים לבסיס, לכן הם לא תורמים גם למימד. מכן שהמימד שווה למטריצה היחידה שנוצרת - בעצם כמות העמודות/שורות בת"ל...::

מצטער על הניסוח של ההוכחה, אבל זה נראה לי פשוט מדי, לא כן?


תודה ולילה טוב :)

--Dvir1352 23:04, 5 בפברואר 2012 (IST)

הדירוג שאתה מדבר עליו הוא דירוג שורות או דירוג עמודות? לא ברורה לי הטענה:" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."

למשל במטריצה עם שורה אחת ושתי עמודות [math]\displaystyle{ (34) }[/math] יש יותר עמודות משורות והיא מדורגת שורה ואין בה שורות אפסים. --מני 23:11, 5 בפברואר 2012 (IST)


" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."(התכוונתי יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים) m זה השורות וn העמודות... אם m גדול מn ז"א שאחרי דירוג (דירוג מטריצה עד לקנונית הכוונה) נקבל מצב בו יש (ע"פ הגדרת המטריצה המדורגת קנונית) שורות שבה כמו מן מדרגות יש אחדים ואחר כך אפסים... אם ישנם יותר שורות מעמודות, יהיו שורות אפסים, ושוב מאחר והם לא תורמים למימד מימד השורות שווה למימד העמודות...

סורי על הניסוח הכושל D: תודה רבה! --Dvir1352 23:40, 5 בפברואר 2012 (IST)

אוקיי אני מסכים שבדירוג הקנוני השורות שאינן שורות אפסים מהוות בסיס למרחב השורות. עדיין לא הבנתי איך רואים שמספרן כמספר עמודות הבת"ל. נראה לי שבפורום זה קצת קשה. --מני 00:39, 6 בפברואר 2012 (IST)


טוב, תודה, אנסה להגיע ביום שלישי ולהסביר את טענתי :)

מתכונן למבחן

במבחן הזה[1], שאלה 2 ב'. חשבתי על פתרון ואני לא בטוח אם הוא נכון! בניתי העתקה לינארית ממרחב המטריצות הריבועיות אל F (סקלרים) שהיא העתקה לינארית: [2].

מה שאנחנו צריכים למצוא מהשאלה זה מימד הגרעין של אותה העתקה, ולפי משפט הדרגה הוא שווה למימד של מרחב המט' פחות מימד התמונה. ולכן הוא שווה ל [math]\displaystyle{ n^2-1 }[/math].

הפתרון הזה נכון? ובנוסף, יש פתרון קל וקצר יותר?

זה נראה לי הפתרון הקצר ביותר (האמת שקשה לי לחשוב בכלל על פתרון אחר). בכל מקרה חסר משהו בפתרון והוא להראות שמימד התמונה=1. מכיון שהתמונה היא ת"מ של [math]\displaystyle{ \Bbb R }[/math] מ"ל שההעתקה אינה העתקת האפס. זה נכון כי [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math] מועתקת ל [math]\displaystyle{ n\neq 0 }[/math] וזה משלים את ההוכחה.

צריך להשתמש בכך ש[math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה. --מני 11:24, 6 בפברואר 2012 (IST)

מני, אני מרפרף על כל מני מבחנים, וממש קשה למצוא שאלות ממש קשות, אתה יכול להפנות אותי לכמה?

מצטער. אין לי מאגר סודי של מבחנים. --מני 12:38, 6 בפברואר 2012 (IST)

בקשר למימדים של תתי מרחב

האם לכל שני תתי מרחבים W,V Dim(W)+Dim(V)>=Dim(V+W) ? תודה


אם אני לא טועה זה צריך להיות dim(v+w)=dim(v)+dim(w)-dim(u^w) ...

זה משפט המימדים באופן כללי אני מדבר על כל שני תתי מרחב

אכן אי השוויון מתקיים ואפשר לראות אותו ע"י משפט המימדים.--מני 19:18, 6 בפברואר 2012 (IST)


שאלה מהמבחן

חלק א', שאלה 2: [3] יש מספר דרכים דיי גדול לפתור שאלה זו, יש לי פתרון דיי קצר, אבל אני לא בטוח אם היו מקבלים אותו:

[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] לכן [math]\displaystyle{ |AB|=|I|=n }[/math] מכיוון ו-n טבעי אז הדט' שונה מ-0, ולכן בהכרח [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |B|\neq 0 }[/math] אז B הפיכה ולכן קיימת מט' C כך ש- [math]\displaystyle{ BC=I }[/math]. נכפול משמאל ב-A: [math]\displaystyle{ C=IC=ABC=AI=A }[/math] ויוצא ש- [math]\displaystyle{ BA=I }[/math].

אז זה פתרון שהיה מתקבל במבחן?

אני גם לא בטוח שהיו מקבלים אותו כי לא למדנו דטרמיננטות.

שתי דרכים אופציונליות: א. (סקיצה של הוכחה) אם [math]\displaystyle{ AB=I }[/math] ניתן להוכיח ש [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה שקולת שורה למטריצה עם שורת אפסים בשל השוויון [math]\displaystyle{ AB=I }[/math]. כעת הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא I או שיש בה שורת אפסים (אחת או יותר) לכן לפי הנ"ל הצורה הקנונית של A היא I. לכן קיימת מטריצה הפיכה C (מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות) כך ש [math]\displaystyle{ CA=I }[/math]. להוכיח ש[math]\displaystyle{ B=C }[/math] אפשר בדרך שתוארה קודם.

ב.לטובת מי ששאל אותי בשעות קבלה בהקשר של העתקות ליניאריות [math]\displaystyle{ AB=I }[/math] גורר ש [math]\displaystyle{ T_AT_B=I }[/math] לכן ההעתקה הליניארית [math]\displaystyle{ T_B }[/math] חח"ע וההעתקה [math]\displaystyle{ T_A }[/math] על אבל שתי העתקות הן מ[math]\displaystyle{ F^n }[/math] לעצמו ולכן חח"ע שקול לעל. מכאן למשל [math]\displaystyle{ T_A }[/math] חח"ע ולכן יש לה גם הופכית שמאלית אבל בדומה להוכחה א ניתן להראות שההופכית הימנית שוה לשמאלית ומכאן [math]\displaystyle{ T_BT_A=I }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ BA=I }[/math] ג. ראינו בכיתה (בשיעור האחרון לפני שיעור החזרה לדעתי) עוד הוכחה באמצעות העתקות ליניאריות. --מני 18:03, 7 בפברואר 2012 (IST)

1)אני כן למדתי דטרמיננטות.

2) כל עוד לא אמרו לי להוכיח דט' מותר להשתמש בכל משפט שקיים, אפילו מאלגברה לינארית 2. (אני זוכר שאיזה מרצה/ מתרגל אמר את זה)

3)אין לי מושג מה "אנחנו למדנו" כי אני למדתי את זה בקיץ ואני עושה מועד ג', אז בבקשה תרחיב.

אני יכול גם במקום זה פשוט לכתוב שבגלל ששורות AB בת"ל וגם [math]\displaystyle{ F^n=R(AB)\subseteq R(B)\subseteq F^n }[/math] ולכן שורות B פורשות את המרחב וגם מספרן הוא n ולכן בסיס ולכן בת"ל ולכן B הפיכה.

מבנה המבחן

מה מבנה המבחן האם הוא כמו המבחן של רזניקוב משנה שעברה?

יש 3 שאלות ללא בחירה. --מני 17:51, 7 בפברואר 2012 (IST)

תודה!!! נ.ב כמה זמן זה?

מהחוברת של בועז צבאן: עמוד 42 תרגיל 7.17

צריך להוכיח שקילות בין שני תנאים:

א. [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס.

ב. [math]\displaystyle{ 0_V \in B }[/math] ...

איך אפשר להוכיח בין שני התנאים? הרי אם [math]\displaystyle{ 0_V \in B }[/math] אז [math]\displaystyle{ B }[/math] לא בסיס...

זו שאלה שיש בה טעות. פתרנו אותה בתרגול אמור להיות רשום 0 לא שייך לB. --מני 17:50, 7 בפברואר 2012 (IST)

תודה

אורך המבחן

כמה זמן הוא המבחן והאם בשביל תוספת הזמן אני צריך להביא את האישור המקורי או שאפשר העתק?

אני לא בטוח לגבי הזמן. בכל מקרה תשאל את מלי. --מני 19:05, 7 בפברואר 2012 (IST)

מציאת בסיס של קבוצה סופית נפרשת

שלום, במידה ונתונים לי ווקטורים {S = {v1, v2, v3 כאשר מבצעים (Span(S. במידה ורשמתי את הווקטורים הנתונים v1, v2,v3 כעמודות במטריצה ודרגתי (לפי הדירוג שורות הרגיל), (כגון שמראש נתבקשתי לבדוק האם ווקטור כל שהוא נמצא במרחב הנפרש ע"י קבוצה זו שאז אני רושם את הווקטורים כעמודות ואת הווקטור אותו אני בעמודת הפתרונות ובודק האם קיים צירוף ליניארי וכו'). האם ניתן מהמצב המדורג למצוא את הבסיס של המרחב? מקווה שהשאלה ברורה.. תודה!


לאחר דירוג מט' (ששורותיה הם S) מקבלים מט' שכל אחד מוקטורי השורה שלה שווים לצ"ל מסויים (ויחיד) של איברי S כך שהסקלר של אותה מספר השורה שונה מ-0 ([math]\displaystyle{ u_i=\alpha_1v_1+...+\alpha_iv_i+...+\alpha_nv_n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \alpha_i\neq0 }[/math]). בכל מקרה, מה שיוצא לך בשורות לאחר הדירוג הקנוני אלו הם וקטורים בת"ל, לא בהכרח יוצא שהדירוג הקנוני הוא I ולכן לא בהכרח זהו בסיס של המרחב.

אני לא בטוח שהסברתי את עצמי כראוי. כשכתבתי למצוא את הבסיס של המרחב התכוונתי לתת מרחב של F^n אליו שייכים הווקטורים v1-v3; כלומר span של קבוצה תמיד פורש מרחב ווקטורי ולמצוא בסיס הכוונה למצוא קבוצה בת"ל מקסימלית הפורשת את אותו מרחב שה-span של קבוצת הווקטורים הנתונה נותן (יתכן ומרחב זה יהיה חלקי ל- F^n ) במצב כזה מה שידוע לי שניתן לעשות זה לרשום את הווקטורים של הקבוצה הנתונה כווקטורי שורה במטריצה ולדרג, הווקטורים שהתקבלו הם הבסיס של תת המרחב הנפרש ע"י קבוצה זו. השאלת אליה התכוונתי היא, כאשר רשמתי את הווקטורים של הקבוצה הנתונה, כעמודות במטריצה (כגון במצב שתיארתי בשאלה המקורית) ודירגתי (דרוג שורות רגיל), האם אני יכול להסיק על הבסיס של תת המרחב? (כמו שהייתי יכול להסיק אם הייתי רושם את הווקטורים כשורות במטריצה ומדרג). מקווה שעכשיו זה יותר ברור.. תודה!

אם זה עמודות מט', אז זה יעבוד רק אם הם בת"ל, אחרת צריך לשים אותם בשורות המט', זה כי אתה עושה פעולות שורה ולכן צ"ל של הוקטורים.

שאלה ממבחן

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf אני מנסה לפתור את סעיף ג'.. חשבתי על כך שבעצם דרוש לנו: ImT=KerR מסעיף קודם קיבלתי ש.. 2 =(dim(kerT כך שלפי דעתי יש בעצם 2 אפשרויות לT ולכן מימד V הוא 2.. שינוי לאן שולחים את שני הוקטורים השייכים לImT.. יש 2 אפשרויות לוקטורים ב-kerT או שיש אפשרות לשלוח את שניהם לאותו וקטור ואז המימד בכלל 4..

אשמח לעזרה איך פותרים!

מכיוון ולכל שתי הע"ל שונות יש מט' מייצגות שונות אז נמצא את המימד של V רק שנחליף את R,T,O ב-[math]\displaystyle{ [R]^S_S,[T]^S_S,[O]^S_S }[/math] ואז אם נותנים משתנים לכל איבר במט' המייצגת של T מקבלים שצריך לבחור 8 משתנים מתוך 16=4x4 זאת אומרת DimV=8.

שאלה על המבחן

למה נותנים מבחן שיותר קשה מכל מבחן שנמצא כאן: [4] ובאתר של בועז ורזניקוב? המבחן היה הרבה יותר מדי קשה, פתיר! אבל קשה. מה עליי לעשות/להשיג כדי שיעשו מועד נוסף שיהיה קל בהרבה? אני מרגיש שכל מה שפתרתי לא הכין אותי בכלל למבחן הזה.

היינו שמחים לעזור אבל אנחנו לא הכתובת. מני ולואי

מסכימה עם כל מילה שלך. מבחן קשה מאוד. אנחנו חייבים להפנות את הטענות שלנו לאוזניים הנכונות בתקווה למצוא איזשהו פתרון.

האם יש סיכוי לפקטור או משהו בסגנון?

תוכלו להעלות את המבחן?

המבחן היה שאלון סגור...
אז מתרגלים?
אין לנו את המבחן. אני מניח שהמרצה יעלה את המבחן עם הפתרונות בימים הקרובים. --מני 00:33, 12 בפברואר 2012 (IST)

מטריצה הופכית של משולשית עליונה

איך מראים שגם היא משולשית עליונה?

אפשר באמצעות הנלווית (Adj) --ארז שיינר

שאלה קשה

נתון [math]\displaystyle{ A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^2+B^2=AB }[/math], וגם [math]\displaystyle{ AB-BA }[/math] הפיכה.

צ"ל ש-n מתחלק ב-3.

מהנתון נובע ש- [math]\displaystyle{ \ A^3+B^3=0 }[/math], מה שמוביל לשער טענה חזקה יותר: אם יש מטריצות ממשיות מסדר n-על-n כך ש-[math]\displaystyle{ \ A^3+B^3=0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ AB-BA }[/math] הפיכה, אז n מתחלק ב-3 (כאן המספר 3 "מוסבר" על-ידי ההנחות). עם זאת, הטענה החזקה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמא [math]\displaystyle{ \ A = e_{21}-e_{12}-e_{22}, B = e_{21}+e_{22}-e_{12} }[/math]. עוזי ו. 17:43, 11 במרץ 2012 (IST)

עוד שאלה לא סטנדרטית

נתבונן באוסף כל המטריצות מגודל סופי מעל שדה נתון. האם קיימות שתי פעולות שביחס אליהן אוסף זה הוא מרחב וקטורי?

כן, הסכום של כל שתים וכפל בכל סקלר נותן את מטריצת האפס מגודל אחד על אחד (: --ארז שיינר
איבר אדיש לחיבור? כפל יחידה?
כן, זו לא הייתה הצעה הגיונית כל כך. את הכפל בסקלר אפשר לתקן, אבל אין נייטרלי לחיבור. ובכן, ניתן למצוא העתקה חח"ע ועל מקבוצת כל המטריצות מגודל סופי לשדה וכך להגדיר מ"ו באופן מאולץ משהו. --ארז שיינר
הסְבֵר? (דרך לא מוצלחת להדגיש את הדו-משמעות של ציווי ושם עצם, כשמתייחסים לצורות ביטוי שונות)
הדרך הטובה ביותר היא לחשוב על כל מטריצה כאילו היא מוצבת בפינה השמאלית-עליונה במטריצה אינסופית שכולה אפסים. בשיטה הזו מטריצה בגודל 5x5 היא אוטומטית גם מטריצה 6x6 ו-7x7 וכן הלאה, ולכן אפשר לחבר ולהכפיל כל שתי מטריצות (ובוודאי שאפשר להכפיל כל מטריצה בסקלר).
אם מעוניינים רק במרחב וקטורי, אפילו האוסף של כל המטריצות הוא כזה. אם רוצים אפשרות להכפיל מטריצות, הוא גדול מדי (כפל של שורה בעמודה ידרוש סיכום אינסוף מכפלות, וזה לא מוגדר מעל שדה כללי, ולא מוגדר בדרך כלל אפילו מעל שדות מיוחדים). הפתרון לעיל מסתפק באוסף המטריצות הסופיות. אפשר לדמיין גם מרחבי-ביניים, קצת גדולים יותר, שבהם הכפל עדיין מוגדר היטב. למשל, המטריצות (האינסופיות) שכל שורה שלהן סופית, או אלו שכל עמודה שלהן סופית. ויש עוד הרבה אפשרויות אחרות (מסובכות יותר; מספרן אינו בן-מניה). עוזי ו. 19:12, 18 במרץ 2012 (IST)
אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-112_לינארית_1_סמסטר_א_תשעב&oldid=20613"