דטרמיננטה לפי תמורות

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל [math]\displaystyle{ \!\, n\times n }[/math] מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:

[math]\displaystyle{ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)} }[/math]

הסכום בנוסחה הוא על [math]\displaystyle{ \ n! }[/math] התמורות [math]\displaystyle{ \,\! \sigma }[/math] האפשריות של המספרים [math]\displaystyle{ \!\, \left\{1,2,\dots,n\right\} }[/math]. הסימן [math]\displaystyle{ \!\, \operatorname{sgn}(\sigma) }[/math] מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, [math]\displaystyle{ \,\! \operatorname{sgn}(\sigma)=1 }[/math], אם היא אי זוגית, [math]\displaystyle{ \!\, \operatorname{sgn}(\sigma)=-1 }[/math].

מעשית: עושים [math]\displaystyle{ \ n! }[/math] סכומים על כל הצורות (סידורים) האפשריות של הכפלת n איברים לפי התאמה חד חד ערכית בין קבוצת (אינדקס) השורות לקבוצת (אינדקס) העמודות. מקדם התמורה יקבע לפי מספר האיברים בסידור שלגביהם מספר (אינדקס) השורה גדול ממספר העמודה, אם המספר זוגי המקדם יהיה +, ואם אי זוגי הוא יהיה -.

לדוגמה: אם יש לנו מטריצה כזאת: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1& 2&3 \\ 3& 20&6 \\ 9& 4&9 \end{pmatrix} }[/math]

אזי התמורות האפשריות הן:

(3 2 1)

(2 1)

(3 1)

(2 3 1)

(3 2)

תמורת היחידה

נביט בתמורה הראשונה לדוגמא. המכפלה המתאימה לה הינה

[math]\displaystyle{ +a_{12}a_{23}a_{31} }[/math]

הדטרמיננטה של המטריצה בדוגמה למעלה היא מינוס מאתיים תשעים וארבע.