מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב: הבדלים בין גרסאות בדף
(←סעיף א) |
(←שאלה 4) |
||
| שורה 17: | שורה 17: | ||
=שאלה 4= | =שאלה 4= | ||
א. | |||
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | ||
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | ||
' | ב. | ||
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים | |||
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>. | |||
===פתרון=== | |||
א. | |||
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>. | לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>. | ||
לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש. | לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש. | ||
ב. | |||
ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה. | |||
=שאלה 5= | =שאלה 5= | ||
גרסה מ־20:44, 19 באפריל 2012
שאלה 1
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
שאלה 2
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.
א. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}} }[/math]
ב.[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}} }[/math]
שאלה 3
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:
א. [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}} }[/math]
ב.[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}} }[/math]
שאלה 4
א.
הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], אז עבור כל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 }[/math].
ב.
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 }[/math] ובכל זאת [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה רציפה בכל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math].
פתרון
א.
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n\rightarrow x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_n)\rightarrow f(x) }[/math].
לכן, לכל סדרה [math]\displaystyle{ h_n\rightarrow 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x+h_n\rightarrow x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x+h_n)\rightarrow f(x) }[/math]. באופן דומה מקבלים [math]\displaystyle{ f(x-h_n)\rightarrow x }[/math] וקיבלנו את הדרוש.
ב.
ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.
שאלה 5
הוכיחו שקיימים [math]\displaystyle{ \infty }[/math] מספרים [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ tan x= x }[/math].
שאלה 6
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה [math]\displaystyle{ ln(\frac{1+x}{1-x}) }[/math] לחשב את [math]\displaystyle{ ln 2 }[/math] עם טעות קטנה מ-[math]\displaystyle{ 2 \times 10^{-4} }[/math].