88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3/פתרון

5

נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון(אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

f קעורה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.

הוכחה (טענה)

יהיו [math]\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in [0,2] }[/math], ונניח בה"כ [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math].

משוואות הישר העובר בין שתי הנקודות היא: [math]\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+f(x_{1}) }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ y\in [x_{1},x_{2}] }[/math], נקודה בקטע בין שתי הנקודות, נרצה להראות כי [math]\displaystyle{ f(y)\geq g(y) }[/math] (וזה אומר שהישר מתחת לגרף הפונקציה).

קיים [math]\displaystyle{ t\in [0,1] }[/math] שעבורו: [math]\displaystyle{ y=tx_{1}+(1-t)x_{2} }[/math], כעת נציב את [math]\displaystyle{ y }[/math] במשוואת הישר g.

[math]\displaystyle{ g(y)=g(tx_{1}+(1-t)x_{2})=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(tx_{1}+(1-t)x_{2}-x_{1})+f(x_{1})= }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(1-t)(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=(1-t)(f(x_{2})-f(x_{1}))+f(x_{1})=tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}) }[/math]

ולפי הנתון שנתון לנו, נקבל כי:

[math]\displaystyle{ f(y)=f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\geq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})=g(y) }[/math].

מה שרצינו להוכיח.

בחזרה לתרגיל

ואם נחזור להוכחה המקורית, אז הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': [math]\displaystyle{ x_{1}=0, x_{2}=1 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

וכן הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': [math]\displaystyle{ x_{2}=1, x_{3}=2 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [1,2] }[/math].

כל הישרים המחברים את הנקודות [math]\displaystyle{ (0, f(0)), (1,1) }[/math] נמצאים מעל הישר [math]\displaystyle{ y=x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]

כל הישרים המחברים את הנקודות [math]\displaystyle{ (1,1), (2,f(2)) }[/math] נמצאים מעל הישר [math]\displaystyle{ y=2-x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [1,2] }[/math]

(תוכיחו את זה אם בא לכם, זה באמת לא קשה)

ובסה"כ מתקיים: [math]\displaystyle{ f(x)\geq h(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in[0,1] \\ 2-x & \text{ if } x\in [1,2] \end{cases} }[/math]

ומכיוון ששתי הפונקציות אי שליליות, אז לפי משפט: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{2}f(x)dx\geq \int_{0}^{2}h(x)dx }[/math]

אבל את האינטגרל של [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] קל לחשב ומתקבל: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{2}h(x)dx=1 }[/math]

ולכן סיימנו (:.