משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dot...") |
מ (←הוכחת הלמה) |
||
| (2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | =השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | ||
'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. | '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P\ v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
'''דוגמה:''' ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-<math>\mathbb R</math>. | |||
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
| שורה 16: | שורה 18: | ||
|o=\le | |o=\le | ||
}} | }} | ||
{{=|r=\sum_{k=1}^n(g(x_k)-g(x_{k-1}))+\sum_{k=1}^n(h(x_k)-h(x_{k-1})) | {{=|r=\sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big) | ||
|c=g,h מונוטוניות עולות, לכן: | |c=g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||
}} | }} | ||
{{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a) | {{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a) | ||
|c=הטורים הללו טלסקופיים | |c=הטורים הללו טלסקופיים: | ||
}} | }} | ||
|} | |} | ||
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} | תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
| שורה 42: | שורה 33: | ||
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים: | לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים: | ||
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q p</math> ו-<math>N=\sup_Q n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q t</math>. | תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q\ p</math> ו-<math>N=\sup_Q\ n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q\ t</math>. נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)</math>). | ||
====למה==== | ====למה==== | ||
| שורה 50: | שורה 41: | ||
=====הוכחת הלמה===== | =====הוכחת הלמה===== | ||
# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+-\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-\\&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T | # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T<\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}} | ||
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | # מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\ | לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Q\ p</math> וכל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}} | ||
===מסקנה 1=== | ===מסקנה 1=== | ||
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> | תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>. | ||
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. | נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}} | ||
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== | ||
גרסה אחרונה מ־16:31, 13 ביוני 2012
השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ([math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-[math]\displaystyle{ v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})| }[/math]. כמו כן נגדיר את [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV f }[/math], המסומן גם כ-[math]\displaystyle{ \overset b\underset aT f }[/math] ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור [math]\displaystyle{ \sup_P\ v(f,P) }[/math]. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ f=g-h }[/math] לכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שנקודותיה הן [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]. לכן
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ v(f,P) }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert }[/math] | [math]\displaystyle{ \le }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| g,h מונוטוניות עולות, לכן: | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big) }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | |
| הטורים הללו טלסקופיים: | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ g(b)-g(a)+h(b)-h(a) }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)\lt \infty }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x) }[/math].
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_m=b }[/math]. כמו כן נגדיר לכל x את [math]\displaystyle{ x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x\lt 0\end{cases} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x^-=\begin{cases}0&x\gt 0\\-x&x\le 0\end{cases} }[/math]. לכן תמיד [math]\displaystyle{ x^+,x^-\ge 0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ x=x^+-x^- }[/math] ו-[math]\displaystyle{ |x|=x^++x^- }[/math]. עתה נגדיר [math]\displaystyle{ p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+ }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^- }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ v(f,Q)=p+n }[/math]. עוד נגדיר [math]\displaystyle{ P=\sup_Q\ p }[/math] ו-[math]\displaystyle{ N=\sup_Q\ n }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ T=\overset b\underset aV f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ t=v(f,Q) }[/math], לכן מתקיים [math]\displaystyle{ t=p+n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T=\sup_Q\ t }[/math]. נעיר שלכל Q מתקיים [math]\displaystyle{ t=p+n\le P+N }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ T\le P+N }[/math]. לבסוף, נשים לב ש-[math]\displaystyle{ P,N\le T }[/math] (כי [math]\displaystyle{ n,p\ge0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n) }[/math]).
למה
בסימונים הנ"ל:
- [math]\displaystyle{ f(b)-f(a)=P-N }[/math]
- [math]\displaystyle{ T=P+N }[/math]
הוכחת הלמה
- מתקיים [math]\displaystyle{ \begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align} }[/math]נסיק ש-[math]\displaystyle{ p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N }[/math]. הראנו כבר ש-[math]\displaystyle{ N\le T\lt \infty }[/math] ולכן מותר להעביר אגף: [math]\displaystyle{ P-N\le f(b)-f(a) }[/math]. כמו כן נסיק ש-[math]\displaystyle{ n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a)) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ N\le P-(f(b)-f(a)) }[/math]. עתה נעביר אגף לקבל [math]\displaystyle{ P-N\ge f(b)-f(a) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ P-N=f(b)-f(a) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
- מתקיים [math]\displaystyle{ T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N) }[/math]. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל [math]\displaystyle{ T\ge 2P+N-P=N+P }[/math]. כבר הראנו ש-[math]\displaystyle{ T\le N+P }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T=N+P }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
הוכחה
לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=\overset x\underset aP f }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \overset x\underset aP f=\sup_Q\ p }[/math] וכל Q היא חלוקה של הקטע [math]\displaystyle{ [a,x] }[/math]. באופן דומה נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=\overset x\underset aN f }[/math]. לפי סעיף 1 של הלמה, [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)-(h(x)-f(a)) }[/math]. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן [math]\displaystyle{ g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+ }[/math] ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ (f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0 }[/math] ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם [math]\displaystyle{ h-f(a) }[/math] מונוטונית עולה). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b) }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+} f(x) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b] }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x) }[/math].
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math]. קל לראות שהן חסומות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math]. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]