:::<math>
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
===תשובה===
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
==פתיחת מחברות==
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
,תודה רבה.
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
==ציוני מבחן==
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
===תשובה===
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
==מקום הפרסום==
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
===שאלה===
שאני פותר את התרגילים שצריך למצוא את הצורה הקנונית- צריך גם להראות את הדרך של החלפת המשתנים? או שמספיק להציב בנוסחא מהתרגיל?
===תשובה===
הנוסחא מהתרגיל מספיק טובה לתרגיל של 2 על 2, אבל יש גם אחד של 3 על 3. הכי טוב להסביר את זה פעם אחת ואז לעשות שוב ושוב (בטח אני לא להראות לכל תרגיל מחדש.יודע, אני אודיע כשאדע
===שאלה===בתרגיל 4 יצא לי באחד מהסעיפים צורה קנונית שנראית כמו (אחרי החלפת משתנים וזה)Elliptic paraboloid מוויקיפדיה, רק עם מספר חופשי. אין שום צורה כזו בויקפדיה. איך קוראים לזה?
:אתה צריך להיות יותר ספציפי. לא לרשום את הקבועים המדוייקיםאהמ, אבל בגדול. אחרת אני לא יכול לענות על זה. כנראה שזו כן צורה מהוויקפדיה (אמור להיות שם הכל אני חושב) ואתה פשוט מפספס את הקשר בין הצורותמישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
==שאלה==
ארזאם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, אמרת שכאשר q(v)=vt * A * v אז A מתאימה לאופרטור צלמותר לי להגדיר בא"ע. למהנ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
===תשובה===
זה החומר של שיעור שעברכן. הרי מה זה <math>v^tAv</math>? זה בדיוק תבנית בילינארית כלשהי <math>f(v,v)</math>. ולמדנו שכל תבנית ריבועית מתאימה לתבנית בילינארית סימטרית מסוימת. בקיצור, חומר של שיעור שעברכי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
==שתי שאלותהוכח\הפרך == *האם יכול להיות מצב בו הצורה הקנונית של שנינונית ממעלה 1 (ממימד )3 תהיה שניונית ממעלה 2? *בתרגיל למדנו איך למצוא את הסקלר d' בעזרת הערכים העצמיים שאלה מהמבחן של המטריצה. נניח שאחד הערכים העצמיים הוא 0בוריס שנה שעברה, איך אפשר להפוך את השניונית לצורה קנוניתהאם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>
===תשובה===
*תגדיר מעלה אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של שניונית. זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה:גם אני מנחש שאתה קורה לשניונית חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם xy ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 1 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא נכון. המעלה הינה סכום המעלות. אם בהכרח אומר שלA יש לך משוואה לינאריתN-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא יכול להיות שהיא תהפוך לריבועיתנכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
*בתרגיל למדנו לבצע לכסון אורתוגונלי, '''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז השלמה לריבוע המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז הזזהM(A)=A^2 כדרוש. אם אחד הע"ע הינו אפס, הוא N-1 אז לא עושים למשתנה שלו השלמה לריבוע אלא רק לאחרים ורואים מה יוצאמכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
*אני מבין עכשיו שיכולה להיות הטעיה בניסוח התרגיל לגבי צורה קנונית. אם קיבלתם <math>ax^2+by^2=cz+5</math> אז זו גם צורה קנונית....= שאלה ==
::*בדיוק, הבנתי אם כך אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את הנושא. כלומרזה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם יש לי למשל 2xy+18xz יכול לצאת לי, תאורטית, xאתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^2+12z^2?*)</math>
::*הבנתי, תודה רבה!! :)
===הוכחה===דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u::<T^*בנוגע לתרגיל בו קבלתי ערך עצמי Tv,u>=<0, האם u>=0 יהיה המקדם של z</math> אבל <math>T^2 במקרה *T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה? (נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר הצורה הקנונית של שניונית תהיה בכלל ממימד 2 למרות שהצורה המקורית שלה ממימד 3)<math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u:::שוב<Tv, מה הכוונה של מימד? u>=0</math> אם ע"ע הוא אפסם <math>\forall u: <v, תקבל למשל משוואה מהצורה T^*u>=0</math>axאם"ם <math>v \in (ImT^2+by*)^2+cx+dy+ez\bot</math> ולכן <math>kerT =f(ImT^*)^\bot</math> ולאחר השלמה לריבוע והזזה תקבל . בצורה דומה <math>axkerT^2+by*=(ImT)^2+ez\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=f(ImT^*)^\bot</math>ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
ואיך קוראים לצורה הקנונית הזו==השלמה לבסיס==האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
===תשובה===
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
::זה תלוי בקבועים.==שאלה==איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס.איך ממשיכים?
מה ז"א? איפה ::הכי פשוט שבעולם - אני יכול לרואת רשימה שלהם? הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם כל הקבועים שונים מתציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית -אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0? בוויקפדיה באנגלית לא מופיע מקרה כזה.
::אפשר להמשיך לחלק בe ואז להזיז את z ואולי לשקף אותו על מנת לקבל את המקרה בוויקיפדיה===תשובה=== תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. זה בדיוק כל הטריק, לעשות שינויים שלא משנים את הצורה על מנת להגיע לצורה מוכרתנניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס.ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
==שאלה==
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
== שאלה לגבי אחוז ההגשה =תשובה===מהו אחוז שיעורי הבית שאפשר לא להגיש? הסמסטר נגמר ועוד לא אמרו לנוצריך להוכיח שאם <math>v_1,. ..v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל המטרה זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של אחוז הגשה זה שאנחנו נתכנן את הזמן שלנו ונחליט מתי עדיף שלא נגיש את שיעורי הבית .תודה מראשוקטור עם עצמו הינה 1.
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
==שאלה==
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
לכל V שייך ל- V.
===תשובה===
לאא. אתם חייבים להכין את כל שיעורי הבית כי מטרת התרגילים היא לבסס את חומר הלימודאתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
המטרה של אחוז ההגשה היא למקרים קיצוניים בהם לא היה אפשרי להגיש תרגיל, אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי ברור שמקרים כאלה עלולים לקרותהמימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
זו בדיוק לא הכוונה שתבחרו סתם לא להגיש תרגיל קשה, כי מן הסתם אנחנו מעוניינים שתעבדו על תרגיל קשהב. זה משפט ההצגה של ריס.
אז מה אחוז ההגשה המותר במקרים קיצוניים? יפה שאתם רוצים שנגיש את הכל אבל ככה זה לכל הסטודנטים אחוז הגשה ואי אפשר ==שאלה==שלנו התיכוניסטים יהיו חוקים אחרים.איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t
:למה אי אפשר? אני לא ראיתי שום תקנון שמכריח אותי לעשות מה שנוח לכם :===תשובה===בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש<math>A^t=(P^t) כנראה שאם יהיה חסר תרגיל אחד לא תהיה בעייה לגשת למבחן^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
==שאלה==
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
דיברתי אתמול ===תשובה===מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם ד"ר צבאן והוא אמר שאפשר לא להגיש 20% או יותר (יותר פירושו אם יוחלט אך מובטח שמותר לא להגיש 20%)אחדות באלכסון המשני.מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
== תרגיל 12 שאלה 1 ==מה הכווונה בשינוי צורה של שניונית? איך בדיוק זה מתבטא?הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.והאם בהכרח מטריצה אורתוגנולית היא מטריצת/סיבוב או שיקוף ב-R3 לפי מישור/ישרהאם המטריצה ההפכית יחידה?כי אם כןתודה.TT=ITT*=Iואז T=T* משמע שזה אמת
===תשובה===
שינוי צורהבוודאי שההופכית יחידה... וזו הוכחה נכונה. :תודה! (: == 2 שאלות==1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים? 2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים? תודה! ===תשובה===1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, הכוונה שהצורה נהיית אחרתולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון). לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, המרחק בין הנקודות משתנהמפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, זויות בין ישרים משתנות וכווהמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. ברור שסיבובים ושיקופים לא משנים את הצורהלפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה. זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים. 2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת <math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
לגבי R^3 זו בדיוק השאלה של התרגיל. ולמדתם בהרצאה איך נראית המטריצה המייצגת של אופרטור אבנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ג מכל מימדל ב<math>v_1, כולל R^3..., אתם צריכים מתוך זה להסיק לבד מה הוא עושהv_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
===שאלה===איך זה שלפני הבוחן :: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1,נתתם פירוט מדויק שלו חודש וחצי לפני,ואילו למבחן שיערך בעוד שבועיים וחצי עוד לא נתתם כלל מידעשיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
צודק!!צריך פירוט דחוף:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
*אולי תבקשו דברים בצורה יפה ולא תדרשו? תופסים יותר זבובים עם דבש מאשר עם חומץ::::עדיין לא הבנתי. ולענייןהרי שיקוף זאת המטריצה cosa, אני מקווה שבקרוב יוחלט על פורמט המבחן ויהיה פירוטsina,sina,-cosa.למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.:::::: אוקי, שוב תודה :)
==שאלה==
*בהרצאה למדנו שכשעושים פעולות יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על השניונית מותר רק הזזות וסיבובים (אופרטורים אורתוגונליים עם דטר' הכיוון שלה. אשמח לעזרה...הוכח\הפרך: 1) ואסור שיקופים (עם דטר. לכל מטר' -1)A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית. איך בדיוק זה בא לידי ביטוי בתרגיל? צריך פשוט להראות שזה שומר מכפלה פנימית? אז למה דווקא בR3 ולא במרחב כללי? ואני לא זוכר שלמדנו משהו על המטריצה 2. אם k^2 ע"ע של אופרטור אA^2 אזי k ע"ג חוץ מA*(At)=I והאיברים על האלכסוןע של A. תודה לעוזר הנחמד.
===תשובה===
קצת מוזר לי שאסור שיקוף, בתרגיל אמרנו שמותר1. באיזה הרצאה אמרו שאסור?הוכחה:
למדתם את הצורה של המטריצה המייצגת של אופרטור אאנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ג וגם היה לכם תרגיל מאד דומה על אופרטור אנטי צמוד לעצמו (בתרגיל 10)ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים. 2. הפרכה: ניקח A=שאלהI. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A:תודה רבה רבה רבה ==שאלה==האם הצורה הקנונית של שניונית היא יחידה (עד כדי החלפת המשתנים זה בזה כמובן)? הסוג הוא יחידבהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, אבל גם הצורה הקנונית (המשוואה בסוף?)מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..
===תשובה===
לא יודעשים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math> ==שאלה==:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, אני לא הגדרתי צורה קנונית בצורה מדוייקתעזרה תתקבל בברכה::A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש::A(A^2+I)(A-2I)=0:הוכח: A לכסינה. אני מניח שאם נגדיר בצורה מדוייקת היא תהיה יחידה תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:x(x-i)(x+i)(x-2) zאנחנו יודעים שA מרוכבת, אבל המטרה שלי הייתה רק להסביר לאיזה צורה צריך להגיע לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (וגם את זה לא עשיתי טובA)ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, כי הוא מהצורהhttp://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.pngוזה אם ורק אם A לכסינה ::איך קטנה שווה 3? לא התחשבתי במקרה של עאמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!! :: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"ע אפסא הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..)ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
==שאלה==
האם מותר לפתור את תרגילים 2 ו 4 לפי הנוסחאות שפיתחנו בתירגולשיינר, בלי להראות החלפת משתנים והשלמה לריבוע וכו'אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
===תשובה===
אני לא עשינו דוגמאות של 3 על 3 בכיתה בכלל. תסבירו מה אתם עושיםיכול לעזור בזה, אולי תפרטו בתרגיל אחד. אין צורך לפרט בכל אחד מהתרגילים כיוון שלא ראיתי את החישובים מהתחלההמבחן. אבל כן תנסו להבין כמה שאתם יכולים. :אני לא שואל מה יהיה טוב לרשוםבמבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה: מחליפים קואו':אני מבין, משלימים לריבועאני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, מזיזים וכו'ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא. אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :) זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים. תודה I GUESS...
==שאלה==
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0?? *לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה.. ::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :) ::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה אומר לי שלשתי שניוניות יש ( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ... מה שכן- זה באמת לא ממש אותה צורה גאומטריתשאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (: ==שאלה==איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת: נתונה מטריצה A: 0 0 0 5 0 0 4 1 0 3 3 2 3 6 5 4 א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח) ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.תודה! :למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו?אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת. == שאלה ==איפה המבחן מחר? לפי אורי וייס505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן... == שאלה == סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
===תשובה===
השאלה המקורית היא: מה הצורה הגיאומטרית של השניונית. T אורתוגונאלי, ולכן לא מנווןלכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על מנת לענות על זהU+כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=wנניח y במרחב הניצב למרחב המקורי<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w', מעבירים לשניונית אחרת עם אותה צורה גיאומטרית רק שהפעם אנחנו יכולים להגיד מה הצורה שלה.y>=<0>ולכן Ty גם בU+
מה עוד צריך שזה יגיד?
==שאלה==
איך יודעים מה הצורה או הצורה הקנונית של שניונית?? מה ההבדל בכלל???האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?==תשובה==לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
==שאלה==
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
===תשובה===
מה ההבדל בין מה למה?התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.
צריך להביא את השנינית למצב שאפשר להגיד מה הצורה שלה (לפי רשימת הצורות מהשיעור או מהרצאה או מוויקיפדיה).
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר... ==שאלה על הזזותהתרגיל==הזזה היא פעולה אורתוגונליתקיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) ) :לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל? =תודה!!=ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.תבוא לתרגל באינפי 2 (: : בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו :אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'. -מצטרף לתשבוחותרק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש :חחחחחחחחחחחח גדוללל! :מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8) חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!! =שאלה=בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.מה לעשות?
===תשובה===
כשמדובר אם זה לא משפיע על אופרטורים א"ג כמובן הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על העתקות לינאריות (זו ההגדרה של אופרטור). הזזה היא לא העתקה לינארית בכלל כי היא שולחת תרגיל ש'''ישנה''' את אפס למקום אחרהציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
==שאלה==היי ארז,ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?תודה רבה!נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!! סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה... :מתי יפורסמו פתרונות למבחן? ::אחרי שהמבחנים יבדקו :::לא מאמינים. תוכיח :):::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל==שאלה==האם בתרגיל 1 מותר לי להוכיח בכללי לכל מרחב וקטורי מה מס' הקורס? :P==אמירה==יש ציונים!!! למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה? הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב? 18/11 מה 18 ומה 11 R^nעזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11? :כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר... :ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם מותר יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו. ::עד כמה שידוע לי להסתמך שהזזות ושיקופים לא משנים ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות מתי הפתיחת מחברות? תשאלו את צורת השניונית המרצים ==הכרזה==יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (זה בכלל משפט ב'ציוני ביניים') יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או שככה הגדירו אותםמשהו) הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן.. ==שאלה==מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)?נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית): אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
===תשובה===
אפשר להוכיח באופן כללי. כן, על זה אתה צריך להסתמך כמו שלימדנו בכיתה. אני מניח שאפשר לנסח משפט כזה, שמגדיר את ה"צורה" בתור המרחק והזווית בין כל שתי נקודות באובייקט הגיאומטרי (סתם מהראש שלי). אבל זה לא קורס גיאומטריה, וכל מה שצריך זה הגיון בריא שאומר שאם אתה מסובב או משקף יש לך אותה צורה. (עבור הצורות של השניוניות כמו ספירה, אליפסואיד וכואינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.)
==שאלה בנוגע ל-4ג'הצעה==אני לא יודע למהלדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, ונדמה לי שזה לא נכון אבל יוצא לי שהערך העצמי יוצא 0, והשניים האחרים יוצאים מספרים ממשיים מגעילים.אני כמעט בטוח שזה לא נכון, יכול להיות שיש טעות בתרגיל??אם לא, אשמח שמישהו יגיד לי מה היו הע"ע האמיתיים ואני אבין איפה טעיתיאז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
===תשובה===
אתה ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות. :אבל הבוחן ממש לא טועההיה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן. ::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים. מתי יהיו ציונים סופיים? לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן. ===פתיחת מחברות===מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס? אני ממליץ לשאול את בוריס :) ===לגבי מועד ב'===אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)?? רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'.. ===תשובה===מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א'). ===תשובה של דר' צבאן===לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'. לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציוןנמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחוםו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב. לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים. סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מביןאת החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'. מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן): http://u.cs.biu.ac. הערכים העצמיים הם 0 ושני מספרים ממשיים מגעיליםil/~tsaban/Summer08/Summer08.html בהצלחה, ד"ר בועז צבאן : תודה רבה
