:::<math>
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
==שאלה==:תשאלו את המרצים
איך מוכיחים שכל מטריצה אלכסונית מעל המרוכבים חופפת למטריצה אלכסונית שיש בה רק ==מבחן מועד א'==העלתם את הערכים 0,1הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. מעל הממשיים, המטריצה חופפת למטריצה עם ערכים 0,1,-1אתם יכולים להעלות את המבחן?תודה.
===תשובה===
מאיפה השאלה הזו? אין בה הגיוןתצלם מאחד החברים, איך יכול להיות שמעל הממשיים יש יותר אופציות מאשר מעל המרוכבים?אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
==שאלהפתיחת מחברות==מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
אם x1==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א').כך שנוכל לראות בצורה מדוייקתאיך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.xm ע"ע של A ,תודה רבה. אז מהם הע"ע של A^-1 ושל A^2 :פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים. ==ציוני מבחן==מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
===תשובה===
תענה על זה בעצמך.הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
==שאלהמקום הפרסום==היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
יש שאלה שאני לא יודע לפתור: הוכח או הפרך - אם הפולינום האופייני של שתי מטריצות שווה וכן הפולינום המינימלי, אז המטריצות דומות.
===תשובה===
תעבור על תרגילי הבית והפתרונות. בהקדם. זו פשוט אני לא יודע, אני אודיע כשאדע == שאלה מהתרגילים.== אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
==שאלה==
הי חברים מישהו יכול לעזור לי אם השאלה הבאה: יהיT:V→V ה"ל, כך שלכל : v∈
T(v)אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P,v> =0> הוכח : T=0.מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
===תשובה===
אני אעזור, זה פשוט לא נכוןכן. קח מטריצת סיבוב ב90 מעלות. למעשה, כי אם תסתכל בשאלה הראשונה של תרגיל 10 תראה שזה נכון לכל אופרטור אנטי סימטרינכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
:ארז - אני מאמין שהתרגיל לקוח מהחוברת == הוכח\הפרך == שאלה מהמבחן של ד"ר צבאןבוריס שנה שעברה, עמ' 96 תרגיל 1.10 1/2 א':האם מישו הצליח לפתור?- הוכח שאם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,vתהי A מטריצה ממעלה > = 2 כך ש-<0math> degA=2 <= rkA=1(הכוונה לאפס, פשוט שמתי את ה</math> כדי שלא ייצא מעוות),אזי T=0.
===תשובה===אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה::גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה כבר הגיוני. הוקטור היחיד שמאונך לכל הקטורים במרחב הוא אפס. ולכן יוצא שלכל u בהכרח Tu מאונך לכל הוקטורים במרחב ולכן אפס. ולכן T העתקת האפס).
'''תשובה:::האם אפשר להוכיח את זה בדרך הבאה ''' (?נכונה) :אם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> rankA=1 = <0>, אזי בפרט גם עבור vdimIm(A)=Tu, 1 ולכן :<Tu,Tu>dimKer(A)=<n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0>, ולכן לכל u במרחב יתקיים: <math>||Tu||^הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=0</math>, בפרט עבור u שונה מאפס, A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן Tu=גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 גורר שו-T1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=0A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
אופס רשמתי את זה לא לגמרי נכון, אני חושב שזה == שאלה 1.11 באותו עמוד..השאלה היא אם יש לך מרחב מכפלה פנימית מעל C עם ה"ל, מ-V ל-V, שמקיימת:T(v),v> =0> לכל v במרחב, ואז צריך להוכיח(ככה כתוב בחוברת!) שזוהי העתקת האפס, ...תודה(:=
:נואני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, ומה רע להשתמש ברמז שם?אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
<math>0=<T(v+iu),v+iu>=<Tv,v>+<Tiu,iu>+<Tv,iu>+<Tiu,v>=</math>
===הוכחה===דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,iuu>+=<iTu0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=-i0<Tv/math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>+i=0<Tu/math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
וגם
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>0=<T(v+\in kerT</math> אם"ם <math>\forall u): <Tv,v+u>=0<Tv,v/math>+אם"ם <Tu,umath>+\forall u: <Tvv,T^*u>+=0<Tu,/math> אם"ם <math>v\in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT =(ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
==השלמה לבסיס==האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>= v_1<Tv,u/math>+לבסיס עבור <Tu,vmath>F^n</math>. למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
משני אלה נובע:===תשובה===זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
<math><Tv,u>=<Tu=שאלה==איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף,v></math> וגם <math><Tv,u>=צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחד-<Tu,v></math> ולכן יוצא שים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?
<math>\forall v,u\in V : <Tv:הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש,u>0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0</math>.
ולפי ההוכחה מלמעלה, זו חייבת להיות העתקת האפס===תשובה=== תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K.נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
==שאלה==
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
איך מוכיחים ===תשובה===צריך להוכיח שאם שתי מטריצות דומות אז לכל עע שלהן יש <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1. T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו ריבוי גיאומטריהדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ. חשבנו אולי להשתמש בצורת ג'ורדן אבל לא נתון שהפולינום שלהן מתפרק לגורמים לינארים ==שאלה==א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>לכל V שייך ל- V.
===תשובה===
דבר ראשון, אפשר לעשות צורת ז'רדן מעל המרוכבים, וברור שלע"ע ממשי יהיו רק ו"ע ממשייםא. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
דבר שני, צריך לזכור שמטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר בין בסיסיםאם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. לכן אם תיקח את הו"ע העצמיים המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של המטריצה, תהפוך את הקואורדינטות שלהם לבסיס המתאים למטריצה ההפיכה (עמודותיה) הכפל בה יהפוך את הקואורדינטות בחזרה לבסיס הסטנדרטי, המטריצה תכפול הגרעין אותו בע"ע ואז המטריצה ההופכית תחזיר את זה לקואורדינטות החדשותהוא מכיל.
עכשיו אם וקטורים הם בת"ל גם הקואורדינטות שלהם לפי בסיס כלשהו בת"ל ולכן תקבל את אותו המימד ב. זה משפט ההצגה של המרחב העצמי (כלומר ריבוי גיאומטרי) בעזרת וקטורי הקואורדינטות של הו"עריס.
:אבל אני יודע שאם לשתי מטריצות יש אותם ו"ע אז יש להן אותם מרחבים עצמיים? אם כן, איך?
תודה.
::תחזור על ההגדרה של מרחב עצמי. מרחב עצמי של ע"ע a הוא קבוצת הוקטורים העצמיים של a איחוד עם אפס
ואם מראים למעשה שכל פתרון של <math>\lambda I-A=0</math> הוא גם פתרון של <math>\lambda I-B=0</math>שאלה==כאשר A ו-B דומות ולהפך אז יש להם אותם ריבויים גיאומטרייםאיך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת?A דומה לA^t
:::כן, כי זה ===תשובה===בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'בדיוק''ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז' ההגדרה של מרחב עצמי:ורדן ולכן המטריצות דומות.
:::החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>V_{\lambda}=\{v|(A-\lambda I)v=0\}v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
:::הריבוי גיאומטרי ==שאלה==אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של <math>\lambda</math> מוגדר להיות <math>dimV_\lambda</math>בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
==ועוד שאלה=תשובה===בהוכחה של המשפט, שלV מ"ו מעל R יש ת"מ אינווריאנטי ממימד 1 או 2סימנו את הע"ע המרוכב והו"ע המרוכב לפי ממשי + i מדומהואז קיבלנו ש:שתי משוואות שמקשרות בין המטריצה, החלקים המדומים\ממשיים של הו"ע והע"עמסדר אותו מהסוף להתחלה. איך ממשיכים הלאה? איך זה עוזר?שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
==שאלה==
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
TT=I
TT*=I
ואז T=T* משמע שזה אמת
===תשובה===
מעל המרוכבים קיים ל<math>A</math> וקטור עצמי אחד לפחות עם ע"ע אחד לפחות תמידבוודאי שההופכית יחידה... [תרגיל: האם יכול להיות שקיים רק אחד?]
נסמן <math>x=u+iv</math> ו"ע כאשר <math>u,v</math> וקטורים ממשיים, ונסמן <math>\lambda = \alpha + i\beta</math> הע"ע המתאים. לכן <math>Ax=\lambda x</math> נפתח את הביטוי, נשווה את הצד הדמיוני והממשי ונקבל 2 משוואות <math>Av=\alpha u - \beta v</math> ו <math>Av=\alpha v + \beta u</math>. אז רואים בקלות שלכל וקטור <math>w \in span\{u,v\}</math> מתקיים <math>Aw \in span\{u,v\}</math> ולכן האופרטור אינווריאנטי תחת התת מרחב <math>span\{u,v\}</math>וזו הוכחה נכונה.
:תודה! (:
==שאלה2 שאלות==1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל פונ' ריבועית כללית אופרטור יש את הצורה q(x)=(x^t)Ax בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
===תשובה=== ראינו בתרגיל שכל תבנית ריבועית <math>q(v2)</math> מתאימה לתבנית בי לינארית סימטרית <math>f(v,v)</math>, ולמדנו שלכל תבנית בי לנארית יש מטריצה <math>[f]</math> כך ש<math>f(v,u)=v^t[f]u</math> ולמדנו שהמטריצה של תבנית בי לינארית היא סמטרית אם"ם התבנית סמטריתעברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי.תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
==שאלה==מישהו אמר לי ששאלו את מרצה הקבוצה השנייה האם יהיה פירוק פולרי במבחן והוא אמר שלא...יש מישהו שיכול לאמת את זה כדי שאהיה בטוח? ==שאלה==האם ידועה החלוקה בין ציון הבוחן, המבחן ושיעורי הבית? האם יש אפשרות ליידע את כולנו בממוצע הציונים בשיעורי הבית, כולל שיעורי הבית האחרונים? תודה רבה!!
===תשובה===
בימים הקרובים יפורסמו ציונים1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
==שאלה==כתבנו בהרצאה על שניוניות ש אפשר לסדר את העלאופרטורים א"ע ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של T האופרטור הצלאופרטורים א"ע בסדר כזהג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, כך שהראשונים יהיו שונים מ0והמרחב הניצב לו, ובסוף יהיו שווים ל0, ושהRANK של T שקול למס' הע"ע השוניםממימד n-1 או n-2. למה זה?: טוב הבנתי לבד חח, זה בגלל שהראנק של אופרטור שקול לראנק של ההצגה שלו לפי בסיס כלשהו ללא תלות בבסיס..הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.
==שאלה==בהוכחה של המשפט:A לכסינה \iff הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) עבור \lambda_1,זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים...,\lambda_k הע"ע השונים של A
בכיוון אחד ההוכחה היא טיפה מסובכת2. אי אפשר צ"ל להוכיח גם את הכיוון הראשון בעזרת בלוקי ז'ורדן? A לכסינה לכן היא דומה למטריצה אלכסוניתשהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,. אפשר להסתכל על האלכסון כבלוקים בגודל 1X1 וזהו הבלוק הגדול ביותר לכל ע"ע.. ולכן החזקה הגדולה ביותר בפולינום המינימלי היא ,w_{i-1}</math>.על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>.אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,. ..,w_{i-1}</math> מאונכים זה טוב?לזה, ולכן המכפלה יוצאת
<math><w_i,w_j>===תשובה===באמת שלהוכיח עם ז'ורדן זה באופן כללי בעייתי כי לא הוכחנו אותו בקורס<v_i, ולכן אי אפשר לדעת במה משתמשים בהוכחה שלוw_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
==בקשה==הקישור למבחנים שבאתר של דבנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ר צבאן מאוד נחמדל ב<math>v_1, אבל איפה אפשר למצוא את המבחן שבוריס עשה שנה שעברה??לי לפחות זה נראה הכי יעיל.. אם מישו יודע(:.,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
==שאלה==ארז:: תודה רבה! - כתבת לגבי המבחןאבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-# לגבי משפט אוילר1, הוא מחולק לחלק מתמטי וחלק פיסיקלישיקוף אמור להיות ה-Ref. את החלק הפיסיקלי לא צריך לדעת למבחן, אבל את החלק המתמטי כן (וכל המשפטונים שמובילים להוכחה כמובן). איזה חלק מתמטי יש למשפט? ההצגה למה אמרת שהוא מטריצה של אופרטור אורתוגונלי בצורת בלוקים1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
===תשובה===:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.זה הנוסח מהמרצה, תבין את הכוונה שלו מהמחברת::::עדיין לא הבנתי. אני מניח שזה אכן הבלוקיםהרי שיקוף זאת המטריצה cosa, והמשמעות שלהםsina, שאותה הייתם צריכים להבין כבר בתרגיל 12 ולצערי חלקכם לא הבין אותהsina,-cosa.למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.:::::: אוקי, שוב תודה :)
==שאלה==
ידוע ש- <math><u,v>=<u,b></math>, וכן u שונה מוקטור האפסיש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה.אשמח לעזרה...הוכח\הפרך:
האם בהכרח ניתן לומר ש: b=v ? אם לא, מהו בדיוק משפט ההצגה של ריס ומתי הוא עובד? באינטרנט מצאתי פירושים אחרים לגמרי למשפט ההצגה של ריס מזה שלמדנו1. בהרצאה למדנו על משפט לכל מטר'יחידות ההצגה של ריס' עבור מכפלות פנימיותA מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.תודה רבה ארז אין עליך!
===תשובה===מה פתאום! הרי 2. אם v וb סתם וקטורים שמאונכים לu למה שהם יהיו שווים??k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
תודה לעוזר הנחמד.
משפט ההצגה של ריס אומר שבממ"פ כל פונקציונל <math>f===תשובה===1. הוכחה:V\rightarrow\mathbb{F}</math> שווה לפונקציה מהצורה <math><w,\cdot>:V\rightarrow\mathbb{F}</math> עבור איזהשהו וקטור קבוע <math>w</math>.
כלומראנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, יש איזומורפיזם בין הפונקציונאלים הלינאריים לבין המרחב הוקטורי עליו הם פועלים. איזומורפיזם זה הוא ההתאמה החחנוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע ועל שבין f פונקציונל לw הוקטור הקבוע שציינתי למעלהשלה ממשיים. דבר שני, ומתקיים תמיד נניח ש <math>f(\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v),v>=<wA^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|==ציונים==מתי מפרסמים את ציוני התרגיל ואיך הציון נקבע לפי הגבוהה מבין השתיים ? 0</math> כלומר, <math>|A^*A-( הבוחן או שיעורי הבית -1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
===תשובה===אמרתי שנפרסם בימים הקרובים, ולמה שזה יהיה לגבוה מבין השניים? אולי נעשה את זה הגבוה מבין ציון התרגיל או 99?2. הפרכה:
הכוונה היא שציון התרגיל יקבע ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא לפי 10 אחוז שיעורי בית 10 אחוז בוחן אלה 20 אחוז הגבוהה מבין השתיים וזאת בשביל מוטיבצייה והרגשה טובה . ע"ע של Aזה יראה על זה שאתם מעריכים את כל מה שהשקענו כל הסמסטר הזה כי באמת הקרבנו המון.תבואו לקראתנו אנחנו ילדים.:תודה רבה רבה רבה
::כן הבנתי את זה, ואני הצעתי על מנת להעלות את המורל לתת לכולכם פשוט 100. אנחנו מאד מעריכים את ההשקעה שלכם, ואנחנו מראים את זה פרט לחיוכים ועוגיות בנוסף על ידי הציון. כעת אנחנו צריכים להעריך יותר את מי שהשקיע יותר נכון? אז אני מציע ככה: ניתן לכם ציון, בהתאם לכמה שהצלחתם בכל תרגיל. מי שהצליח יותר יקבל יותר נקודות, ומי שהצליח פחות יקבל פחות. אבל כולכם תקבלו נקודות.
כך לדוגמא תלמיד שהצליח כמו שאתה אומר הצליח בכל התרגילים בצורה יפה והשקיע ובבוחן לא הלך לו .. (ולהפך)
אז לדעתי צריך לקחת את הציון הגבוה - ממוצע תרגילים או בוחן וזאת כדי שאלה שהשקיעו לא התבאסו וירגישו שזה היה ליחנם בכל אופן אני זז לישון יש לי בית ספר מחר על הבוקר אם תרצה לקחת את זה לצומת ליבך זה יהיה נפלא
לילה טוב
==שאלה==
צריך להודיע למישהו אם אני בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא יכול להיבחן במועד א' או פשוט נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא להגיע?נכון..
===תשובה===
לא צריך להודיע, אבל זה לא מומלץ. זה סיכון לגשת ישר למועד ב', כי הוא האחרון שיהיה.שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
==המשך לשאלה ממקודם על בלוקי ג'ורדןשאלה==אמרת שלהוכיח עם בלוקי ז'ורדן :עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה::A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש::A(A^2+I)(A-2I)=0:הוכח: A לכסינה. תשובה זה בעייתימתפרק לפולינום שA פותרת אותו:x(x-i)(x+i)(x-2) zאנחנו יודעים שA מרוכבת, אבל בהוכחה שאתה כתבת כיוון אחד כן השתמשתלכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. אני מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורהhttp://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.pngוזה אם ורק אם A לכסינה ::איך קטנה שווה 3? לא מבין אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!! :: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3.. ==שאלה==שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה ההבדל בין מה שאני נתתי לבין הכיוון השני אומר החלק המתמטי של ההוכחה שמופיעה באתרמשפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
===תשובה===
אני אזכיר שמה שכתבתי באתר היה השלמה לתרגיללא יכול לעזור בזה, ובאותו תרגיל הוכחנו דברים בעזרת צורת ז'ורדן על מנת '''ללמד צורת ז'ורדן'''. במבחן אני לא בטוח בכלל שהוכחות בעזרת צורת ז'ורדן יתקבלו כי הן עוקפות כיוון שלא ראיתי את המטרה המקורית, כמו אנשים שניסו להוכיח עם פוליטופים בבוחן. אני אנסה לחשוב על הוכחה טובה בכיוון השני גםהמבחן.
בכל מקרה, תקרא ותבין את ההוכחה שיש בכיוון הראשון, זה סוג היכולת שנלמד בקורס, לא תשובה של משפט בעזרת ז'ורדןתנסו להבין כמה שאתם יכולים.
:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
בחלק הראשון של ההוכחה- למה צריך את החלק של החישוב של (A-li)vi ? שזה שווה להפרש הע"ע כפול הו"ע? הרי בהמשך ההוכחה אפשר ישר להזיז ימינה את A-ljI שיהיה ליד vi ואז אז תחשוב כמה נחמד זה ישר 0...למה צריך להחליף חלק משאר האיברים המוכפלים?להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :(תשובה לא מארז) אי אפשר להזיז את A-ljI ימינה סתם ככה. מה שיש לך אחרי זה לא סקלרים אלא מטריצות, ואתה לא יכול להחליף את הסדר.
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
תודה I GUESS...
==שאלה==
האם יתקיים שיעור חזרה עם המרצהלמה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0? קיבלתי רק איימיל שיש שיעור חזרה עם לואי ביום שני מ-3 עד 7? *לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה.. ::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
איך קיבלת? אני ::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא קיבלתימיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ... מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה...תנסה לחשוב על זה קצת (:
==שאלה==
תרגיל: יהי V מרחב וקטורי עם בסיס B. הגדר מכפלה פנימית על V, כך שביחס למכפלה זו B בא"נ.מה אני אמור לעשות כאן, יותר נכון מה אני יכול לעשות כאן, מלבד להגדיר איך פותרים את התנאים למכפלה הפנימית המבוקשת עבור v1,...,vn וקטורי הבסיס B? (יש רמז לתרגיל, שאומר סעיף ב'להשתמש באיזומורפיזם בין V למרחב הוקטורים F^n)בשאלה הזאת:
===תשובה===תגדיר את המכפלה הפנימית לוקטורי הבסיס ואז מה? איך אתה יודע שהיא מוגדרת היטב?נתונה מטריצה A:
לעומת זאת, אם תגדיר את המכפלה הפנימית באופן כללי, אז תענה על התרגיל. ולמה אתה חושב אומרים לך להשתמש במרחב הוקטורי הרגיל F^n? איך נראות מכפלות פנימיות מעליו?0 0 0 5
::לא נעים לי להגיד, אבל אני ממש לא יודע למה. בכל הנוגע ל'להגדיר מכפלה פנימית' אני יכול רק לנחש מתוך כמה המכפלות הפנימיות שלמדנו (הסטנדרטית, אינטגרל בין 0 0 4 1 ל-(1-), וכ'ו..), אבל אני לא מבין מדוע אומרים להשתמש באיזומורפיזם, או איך נראות מכפלות פנימיות מעל F^n. (כל המכפלות הפנימיות מעל F^n, לא?)
:::תסתכל על תרגיל 10 3 3 2 3 6 5 4 א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.9 בעמוד 96 בחוברת. בנוסף, תזכר מה המשמעות חחח) ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של מטריצת גרהם, מה A.תודה! :למדנו לגביהבכלל למצוא את הP ההפיכה הזו?אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
== שאלה ==
יש לי כמה שאלות:: כשאמרת שיהיה ציטוט משפט או הגדרה, כמה משפטים כבר אפשר לצטטאיפה המבחן מחר? כלומר לכמה משפטים יש שם ייחודי לחלוטין כמו משפט פירוק הניצב?: אפשר דוגמא אחת לשאלה מסוג הוכח/הפרך?: יש משפטים שההוכחה שלהם מאוד ארוכה, וגם אם אני אבין אותה טוב מאוד ואזכור כמה טריקים אני לא בטוח שאצליח להוכיח אותן במבחן, כגון משפט הלכסון, משפט קיילי המילטון, ומשפט השילוש. בכל זאת משפטים אלה יכולים להיות במבחן להוכחה?תודה רבה!
לפי אורי וייס
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
==שאלה =תשובה===אני לא יודע, זו לשון המרצה, אני לא ראיתי את המבחן. יהיו ברורים בשאלה לגבי מה לצטט או להגדיר, יש מספיק הגדרות ומשפטים שאפשר לצטט או להגדיר.
כמו שאמרתי, לא ראיתי את המבחן. אתה יכול לחשוב בדיוק כמוני על שאלות הוכח/הפרךסתם שאלה, אפשר לראות מתרגילי הבית דוגמאות מהבוחן וכוהוכחה לכך שאם U הוא T אינ'אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
הכל יכול להיות במבחן, גם דברים שנראים לך ארוכים. בעבר תלמידים חשבו שמשהו לא יהיה כי הוא ארוך מידי ולכן לא למדו אותו והפסידו. ראה מקרה משפט המימדים.
==שאלה=תשובה= ==T אורתוגונאלי, ולכן לא מנווןלכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=wנניח y במרחב הניצב למרחב המקורי<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>באיזה בנין וחדר יהיה התירגול?ולכן Ty גם בU+
===תשובה===
אלגברה ליניארית 2 שעור חזרה עם ארז שיינר יתקיים ביום שני 1/2/10 בין השעות 19-15 בנין 202 חדר 204
==מועד ב'שאלה==אינני יכול לגשת למועד א', האם מבנה הבחינה של מועד ב' יהיה זההפונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?==תשובה==לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
==שאלה==
אני שם לב שיש כל מיני דברים בתרגול שלא ראינו בכלל בהרצאה (אופרטור חיובי לחלוטין, פירוק פולרי, בנושא של המרחב הדואלי - מאפסים, וכו')האם ייתכן והם יהיו במבחן? התשובה קריטית, כי זה חוסך המון זמן לפתירת תרגילים יותר רלוונטיים.תודהכמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית.הוא יכול להיות במבחן?
:מצטרף לשאלה===תשובה===התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.
::כמו שאמרתי איני יודע בדיוק איך נראה המבחן. לעומת זאת המרצים יודעים במדיוק איך נראה התרגיל, ולפיכך יוכלו לשים במבחן כל חומר. התרגיל הוא חלק בלתי נפרד מהקורס, והמרצים מכירים את מערך השיעור של התרגיל, ואת תרגילי הבית שחולקו.
==הוכחת תהליך גרם שמידט==ניסיתי להוכיח את גרם שמידט (עבור החלק שהופך קבוצת וקטורים לקבוצה אורתוגונלית) באינדוקציה רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר. הגעתי למבוי סתום (יהיו {<math>v_1, . . v_n</math>} הוקטורים המקוריים, {<math>u_1, . . . u_n</math>} הוקטורים החדשים.:הנחתי נכונות עבור n=k+1, כלומר <math>u_{k+1} = v_{k+1} - ( <v_{k+1},u_1>\frac{u_1}{||u_1||^2}+ . . . + <v_{k+1},u_k>\frac{u_k}{||u_k||^2} ),</math>כאשר ההנחה אומרת שהוא מאונך לכל הוקטורים שלפניו, ולכן לכל i מ-1 עד k נקבל:<math><u_{k+1},u_i>=0</math>לכן, כאשר פותחים את הביטוי מקבלים:<math><v_{k+1},u_i>=<<v_{k+1},u_i>\frac{u_i}{||u_i||^2},u_i></math>וזוהי הנחת האינדוקצייה.כאשר אני מחשב את u_k+2, ומוסיף את אחת מהנחות האינדוקצייה (שהיא שכל הוקטורים u_1,...,u_{k+1} מאונכים זה לזה), אני מקבל שנותר לי להוכיח את השוויון הבא (לכל i מ-1 ועד k כמובן):<math><v_{k+2},u_i>-<<v_{k+2},u_i>\frac{u_i}{||u_i||^2},u_i>=0</math>
איך בדיוק ==שאלה על התרגיל==קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני עושה מניח שרוב מי שקורא את זה?יודע מי אני...:-) )
תודה רבה!:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
===תשובה==תודה!!=יש ארז שיינר, תודה רבה לך סתם טעות חישובעל כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.. השיוון שאתה מקבל לאחר כפל שני הצדדים ב<math>u_i</math> הינותבוא לתרגל באינפי 2 (:
<math><u_{k+1}: בהחלט כל הכבוד,u_i>=<v_{k+1},u_i>-\frac{<v_{k+1},u_i>}{||u_i||^2} <u_i,u_i> = 0</math>מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
שאר הדברים בכפל הופכים לאפס כמובן:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
::תודה רבה, ארז, על התגובה המהירה ועל הרצון הטוב לעזור לנו! אין לי מילים לתאר כמה אני מודה לך!!!
::: אני שמח לשמוע :)תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
==שאלה - הוכחת אי-שוויון קושי שוורץ==מצטרף לתשבוחותיש לי שאלה שעשוייה להראות די בסיסית - הוכחנו בכיתה את אי-שוויון קושי שוורץ בעזרת אי-שוויון בסלרק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, עבור שני וקטורים uוזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים,vכיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. הטענה שהוכחנו היא:<math>|<uלפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות,v>|\le||u||*||v||</math>וכן שוויון יתקיים אם ורק אם u,v ת"לאפשר עם ציורים חמודים.תודה מראש
עכשיו, בסיום ההוכחה הגענו לאי השוויון הבא (שנותר להוכיחו כדי להוכיח :חחחחחחחחחחחח גדוללל! :מאיפה אתה קונה את כל הטענההעניבות האלה? גמאני רוצה 8):<math>||v||^2 \le |<v,\frac{u}{||u||}>|^2</math>וכאן בעצם נגמרה ההוכחהחחח תכלס עניבות מגניבות. מדוע הטענה הזו נכונה בעצם לכל u,v..מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!! =שאלה=בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.מה לעשות?
===תשובה===
קודם כל הטענה הינה הפוכה:אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
<math>||v||^2 \ge |<v==שאלה==היי ארז,ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?תודה רבה!נ.ב:ארז ,\frac{u}{||u||}>|^אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2</math>או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
ושנית כל, זה בדיוק אי שיוויון בסל.
ניקח <math>S=\{\frac{u}{||u||}\}</math> קבוצה א"נ (לכן הנרמול) ולכל וקטור <math>v</math> במרחב מתקיים אי השיוויון הנ"לסתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
הבנתי! שכחתי שאי-שוויון בסל נכון לכל קבוצה אורתונורמלית, ולא רק לבא"נ כפי שחשבתי. תודה ארז :) !מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
::אחרי שהמבחנים יבדקו
:::לא מאמינים. תוכיח :)
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
==שאלה==
מה מס' הקורס? :P
==אמירה==
יש ציונים!!!
מה זה אומר ש - T העתקה ליניארית היא איזומטריה?למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
===תשובה===T איזומטריה אם היא שומרת נורמההם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. כלומר <math>\forall v \in V : ||Tv||=||v||</math>פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
==שאלה==u שייך לU+ סכום ישר עם U++. ובנוסף u לא שייך לU+. למה זה אומר לי שu שייך לU++איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב? כלומר, הוא יכול להיות חיבור של 'שניהם', לא?:אני מאמין שהתכוונת לצירוף לינארי של איברי הבסיס של U+ עם U++. אז זהו - שלא :) לפי ההגדרה אם מוגדר סכום ישר של U+ ו-U++, הכוונה היא שאין ביניהם חיתוך, כלומר אין וקטור שהוא צ"ל של איברי הבסיס של U+ וגם צ"ל של איברי הבסיס של U++ (הכוונה לצרוף לינארי לא טרוויאלי), ולכן וקטור לא יכול להיות שייך לשני המקומות באותו זמן, אבל מצד שני אם הוא ב-V (כאשר V סכום הישר הנ"ל) חייב להתקיים שהאיחוד של הספאנים נותן את כל המרחב V, כך שלכל וקטור v ב-V יש בדיוק שתי אופציות איפה להיות.::אוקי, תודה. :) עוד שאלה כללית לגבי מינוח. נניח שV ממ"פ, נגדיר את V להיות R^2. אז F (השדה מעליו הוא מוגדר) חייב להיות R?:::אני חושב שכן. לעומת זאת, אני יודע שחשוב לזכור ש-R מוכל ב-C, לכן כל מטריצה שמקיימת תכונות של R מקיימת גם תכונות של C (למשל התפרקות הפולינום האופייני).
18/11
::::תיקון קטן, רשמת '''איחוד''' הספאנים הוא המרחב כולו מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א- זה כמעט תמיד לא נכון. נכון לאמר ש'''חיבור''' הספאנים נותן את המרחב כולו. וכל דבר שהוא לא באיחוד, כלומר הוא לא בקבוצה אחת או השנייה אז הוא מתפרק לשני רכיבים, כל רכיב באחת בקבוצות.18 וסעיף ב-11?
==שאלה==:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...אפשר בבקשה לצרף :ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את משפט הליכסוןהטענה הזו - האם יורידו נקודות? ההוכחה שלו אם כן, זה יהיה קצת לא הייתה בצורה מלאה במחברת.הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו. ::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה.חכו לפתיחת המחברות מתי הפתיחת מחברות? תשאלו את המרציםתודה!===תשובה=הכרזה==אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מוציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ע שלה. קל ר צבאן! (ב'ציוני ביניים') יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו) הממוצע מאד להוכיח שזה נכון גבוה, אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסוניתיהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
==שאלה==
בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפתמישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)?נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
==לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי=תשובה===מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R==הצעה==לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
===תשובה===
לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטליםציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכבים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזהאי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים :אבל כן מעל המרוכביםהבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, ויש מטריצות שאינן לכסינות כללצריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים. מתי יהיו ציונים סופיים? לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן. ==שאלה=פתיחת מחברות===מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס? אני ממליץ לשאול את בוריס :) ===לגבי מועד ב'===אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)?? כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימלייםרציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה?כלומר כמות השאלות וכו'..
===תשובה===
בקלות:<math>f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|=|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B</math>:זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס מומלץ לשאול את Aהמרצים, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שוויםאבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
==שאלה=תשובה של דר' צבאן===האם אופרטור שומר מרחקים לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'. לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציוןנמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחוםו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב. לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים. סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מביןאת החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא בהכרח אוניטרי?זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'. מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן): http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html בהצלחה, ד"ר בועז צבאן : תודה רבה
