:::<math>
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
===תשובה===
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
==פתיחת מחברות==
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
,תודה רבה.
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
==ציוני מבחן==
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
===תשובה===
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
==מקום הפרסום==
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
===תשובה===
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע
== שאלה ==
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
==שאלה==
אפשר בבקשה לצרף אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E? ===תשובה===כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ. == הוכח\הפרך == שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math> ===תשובה===אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...). '''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט הליכסון? ההוכחה שלו צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..) == שאלה == אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא הייתה מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math> ===הוכחה===דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה. עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה מלאה במחברתדומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>.אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו). ==השלמה לבסיס==האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .תודה!למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
===תשובה===
אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבדזו שאלה מלינארית 1. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.: לא נראה לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"ג=ר"אעל מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, וכו').::תצטרכו לנסח אותו במדיוק. אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי ברור שיש בסיס המורכב מוקטורים עצמייםאתה שם אותם בשורות מטריצה, כי ידוע שו"ע של ע"ע שונים הם בת"ל. בכיוון ההפוךמדרג אותה, אם הריבוי הגיאומטרי קטן ממש מהאלגברי אז ברור שאין בסיס המורכב מו"ע משיקולי מימדיםומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
==שאלה==
בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"לשמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחד-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודהים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפתאיך ממשיכים?
==לכסון ושילוש ::הכי פשוט שבעולם - אורתוגונלי ואוניטריאני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=מה 0, וזו בדיוק המטרה ההגדרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב===תשובה=== תשובה לע"ע רק 0-R אין מרוכבים), A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל RA*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה ==שאלה==איך מוכיחים את הכיוון הבא:אם הוא יכול פשוט לשלש T אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
===תשובה===
לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכביםצריך להוכיח שאם <math>v_1, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא..v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1, שהמטריצה המלכסנת..Tv_n</משלשת מכילה ערכים מרוכביםmath> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזהוהמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכביםT אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:<math><Tv_i, ויש מטריצות שאינן לכסינות כללTv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
==שאלה==
כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>לכל V שייך ל- V.
===תשובה===
בקלות:<math>f_A=|A-xI|=|P^{א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1}BP-xI|=|P^{(לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1}BP-xP^{. אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B</math>:זו ההוכחה לפולינומים אופייניםאזי הוא שווה לגרעין. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, אם המימד שלו n אזי הוא מאפס גם את B וההפךשווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל. ב. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שוויםמשפט ההצגה של ריס.:: צודק, טעות שלי. עשינו אבל את ההוכחה הזו עשינו בתרגיל באמת (כמו שרשמת מראים שיש אותם פולינומים מאפסים)
==שאלה==
האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטריאיך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת?A דומה לA^t
:איפה הטעות שלי?===תשובה===נניח Length Tv בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A= Length vPJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש<math>A^t=(אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חחP^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימיתהחלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.כלומר Tv-vxTv-v=0לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=Iשאלה==אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
===תשובה===
קודם כל, אונטרי מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה לא I, אלא T אוניטרי אם TT*=Iשקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני.מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
שנית, אסור לעשות את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. <math><Tv,Tv>-<v,v>==שאלה==הוכח\neq <Tv-v,Tv-v></math>הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. הכלל הנכון הינו <math><v,u>-<w,u>האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כןTT=ITT*=Iואז T=<v-w,u></math>T* משמע שזה אמת
שלישית, למדנו בתרגיל שאופרטור הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימית===תשובה===בוודאי שההופכית יחידה.. ואם זה לא מספיק, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשי.
וזו הוכחה נכונה. :תודה! (: השאלה שלי הייתה אם == 2 שאלות==1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי. לא נורמות ולא מיש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"פ. מרחקים.::: ומה ההבדל בין שמירת נורמה לשמירת מרחקיםנ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים? איך מודדים מרחק? אתה בעצמך רשמת נורמה בשאלה...:::: אני כתבתי רק את 2) עברתי על השאלה המקורית, בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את שתי השורות שמתחתיה. מרחק זה הנורמה של הפרש הוקטורים.::::: אז אם מרחק עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה נורמה, והנורמה נשמרת אז לא ברור שהמרחק נשמרלי. ולחילופין, כל נורמה היא מרחק של הוקטור מאפס. זה שקול לחלוטין. אלה שמות שונים לאותו הדברתוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים? תודה!
==החזרת תרגילים==
ארז - ביום שני הקרוב (מחרתיים) יש לנו שיעור חזרה, ועדיין לא קבלתי את כל התרגילים בחזרה וחשוב לי לראות מה עשיתי - האם הם כבר נבדקו? ולגבי אלה שנבדקו, מאיפה אפשר לאסוף אותם?
===תשובה===
אם הם יחזרו אלינו 1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו נחזיר יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון). לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם ביום שנילסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. בכל מקרה אני ממליץ לקרוא את הפתרונות לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה. זה מאד דומה להוכחה שיש באתר (בלי שום קשר בפתרון לתרגיליםבנושא אופרטורים אנטי סימטריים. 2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת <math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו. בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה. :: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון? :::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>. ::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.:::::: אוקי, שוב תודה :)
==שאלה==
בהוכחה של משפט אוילר כתוב שאם ההצגה של T אורתוגונלי לפי באיש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...הוכח\הפרך: 1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית. 2. אם k^2 ע"נ B במרחב ממימד ע של A^2 היא Ref a, ניתן לשנות את הבסיס ככה שזה ייצא מטריצה שיש בה במקום 11 מינוס אחת, במקום 22 אחת ובשאר אפסיםאזי k ע"ע של A. תודה לעוזר הנחמד. איך משנים את הבסיס כדי שייצא ככה?
===תשובה===
ניקח אופרטור שיקוף לפי ישר מסוים. מה האופרטור עושה לוקטור שנמצא על הישר? כלום, משאיר אותו כמו שהוא. מה האופרטור עושה לוקטור המאונך לישר? הופך אותו לצד השני, כלומר מחזיר את מינוס הוקטור. לכן ניקח את הבסיס שהוא וקטור על הישר שלפיו משקפים ווקטור מאונך לו. זה תמיד יהיה בסיס (למה?)1.הוכחה:
זה הסבר ל2 על 2אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. אבל למדנו שכל אופרטור אדבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ג הוא סכום ישר ע של אופרטורים על מרחבי 2 על 2<math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
:למדנו שהוא סכום ישר של סיבובים עם כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחדים ואחדיםאחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים. מה האחדים והמינוס אחדים מייצגים?
2. הפרכה::או שיקוף (מינוס אחד) או פשוט שליחת וקטור לעצמו (אחד). הרי מה מטריצה הזו עושה לוקטורי הבסיס? מסובבת זוגות של וקטורי בסיס, חלק משאיר כמו שהם, וחלק משקפת כלומר הופכת את הכיוון
:::אם אני ממש רוצה למצוא את הבסיס המפורש שבשאלה, מה אני עושה?ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A:::: איזה שאלה? רשמתי איך מוצאים את הבסיסתודה רבה רבה רבה
==שאלה - אורתוגונליות של אופרטור==תוך כדי הוכחת חלק קטן ממשפט אוילרבהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, שבא להוכיח את אחת מטענות העזר הרבות הבאה:אם T אורתוגונלימ<A*Av, U אינווריאנטי, אזי גם U+ אינווריאנטי,נתקלתי במשהו שלא הבנתי מההרצאה:T אורתוגונליתv> קפצת ל l<v, אז מדוע היא חח"ע? האם כל T אורתוגונלית בכל תת-מרחב (גם v< וזה לא T-אינווריאנטי) תהיה חח"ע?נכון..
===תשובה===
מה זה מטריצה א"ג? מטריצה שעמודותיה הן בסיס א"נ, ובפרט הן בסיס. כלומר זו מטריצה '''הפיכה''' ובוודאי חח"שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע. אם היא לא הייתה חח"ע היה לה גרעין לי טריוויאלה, וזו סתירה לכך שעמודותיה הן בת"ל.של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
::אההה מצוין, תודה!==שאלה==::ויש לי עוד שאלהשאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה: בהוכת המשפט: 'יהי V מעל R, ו-T אופרטור אורתוגונלי, אזי קיים בא"נ עבורו ההצגה של T היא מטריצת בלוקים שכוללתA מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש: <math>Rot:A(a_1A^2+I) . . . Rot(a_k), A-1 . . . -1, 1, . . . 1</math> (אלו הם הבלוקים, והשאר אפסים2I)'=0:הוכח: A לכסינה.
::הוכחנו בעצם באינדוקצייה, אבל משהו פה נראה לי מוזר:
תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו::כשהגענו למקרה הx(x-n עבור n>2 אמרנו שבגלל שi)(x+i)(x-T אורתוגונלית יש תת"מ אינווריאנטי U ממימד 1 או 2) zאנחנו יודעים שA מרוכבת, ואז יש לו בא"נ B1 כאשר ההעתקה המצומצמת לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של T עבור U לפי הבסיס B1 היא כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה הדרושה. בנוסף, נובע גם שיש גם U+ שהמימד שלו קטן מhttp://math-nwiki. איך פתאום קפצנו מכאן למשפט הבא: '''"לכן לפי הנחת האינדוקצייה יש בא"נ B2 עבור U+ עבורו ההצגה של ההעתקה המצומצמת T ל-U+ לפי B2 היא כנדרש"'''? על איזו הנחה מדובר?com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.pngוזה אם ורק אם A לכסינה
:::מה זו הנחת האינדוקציהאיך קטנה שווה 3? זה בדיוק מה שצריך להוכיח הרי. האינדוקציה פה נעשית על המימד. כלומר אנחנו מניחים שכל אופרטור א"ג הוא מהצורה הזו אם לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא פועל על מרחב ממימד n. כעת אנחנו לוקחים את המרחב הגדול, ומפרקים אותו לשני תתי מרחבים אינווריאנטיים U, U+ שהמימד שלהם קטן ממש מהמימד של המרחב כולו. לכן לפי הנחת האינדוקציה האופרטור נראה כמו במשפט על כל אחת מתתי המרחבים הללו.ממעלה 4!!
::::אהההה הבנתי, אז הנחת האינדוקצייה שפועלת על המימד נכונה כאן כי אנחנו משתמשים בה עבור U+ שאנחנו יודעים שהמימד שלו קטן ממש מ-n, וההנחה היא עבור 1, כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר. . n) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-1, ובעצם מוכיחים עבור סכום הישר של ההצגות המצומצמות של T לפי הבסיסים שלהם ב-n3.. נחמד מאוד :) ! תודה ארז, אין עליך!!
==שאלה==
בפתרונות של שאלה מס' 3 סעיף א' בתרגיל 11שיינר, כתוב שזה העתקה בי לינארית. לא הבנתי איךאם אפשר ליישר קו, קח y=0'0'0 x=1'1'1 ותקבל f(xמה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר,y)=1 כשאמור לצאת 0...שאותו אנחנו צריכים לדעת?
===תשובה===
צודקאני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן. תנסו להבין כמה שאתם יכולים. :אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא. אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :) זו טעותשאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים. תודה I GUESS... נתקן
==שאלה==
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0?? *לך לארכיון 5 יש איזה שאלה שאני שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה.. ::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא מצליחנכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, אשמח לעזרההרי זאת אותה השאלה בדיוק..:Sיהי V מ"ו ::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :) ::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל F ויהי W תאיזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"מ י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ... מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (: ==שאלה==איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת: נתונה מטריצה A: 0 0 0 5 0 0 4 1 0 3 3 2 3 6 5 4 א) מצא את צורת הז'ורדן של VA (צדקת ארז, זה באמת עם ז'. יהי Q פונקציונל לינארי מV לF. ידוע חחח) ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש ker Q מוכל בW-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. הוכחתודה! : Wלמדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת. =V או W=ker Qשאלה ==איפה המבחן מחר? לפי אורי וייס505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן... == שאלה == סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
===תשובה===
אנחנו פותרים מחר שאלה שכנראה תעזור לך. בינתיים אני ארמוז: מה המימד של הגרעין של פונקציונל?T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון:המשך. הגרעין חייב להיות dimv-1 או שהוא יכול להיות גם dimv? כלומרלכן, לפי משפט הדרגה, יש סיכוי שהמימד של IMT יהיה =Uכאשר T מצומצם על U+כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=wנניח y במרחב הניצב למרחב המקורי<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0?>::פונקציונל האפס..ולכן Ty גם בU+
==שאלה - העתקה אוניטרית==
אני רוצה להוכיח ש-T אוניטרית (TT*=T*T=I) אם ורק אם T שומרת מ"פ.
כיוון אחד טרוויאלי, בכיוון השני אני צריך להוכיח שאם T שומרת מ"פ היא אוניטרית. איך אני עושה את זה?
הגעתי למצב שלכל w,v מתקיים:
<v,T*Tw>=<v,w>
עכשיו, אני יכול לפתח את זה כך:
<v,T*Tv>=<v,v> לכל v,
אבל איך אני יכול להמשיך מכאן? כלומר, אם <a,b>=<a,c> לכל a, האם זה בהכרח אומר ש-b=c?
:מהמצב הזה-<v,T*Tw>=<v,w> אתה יכול להעביר אגף ולהשתמש בלינאריות במשתנה ראשון ולקבל v,T*Tw-w>=0>. זה נכון לכל v, בפרט
לv=T*Tw-w לכן תקבל שT*Tw-w,T*Tw-w>=0>. מחיוביות תקבל שT*Tw-w=0 לכל w לכן T*Tw=Iw לכל w ולכן ההעתקות שוות, T*T=I.
:זאת לא ההוכחה שיש באתר?
==שאלה==
בקשר למשפט השילוש האוניטרי. (למשל עבור ה"ל). אם יש לנו בסיס B כך ש[T] לפי B משולשית (לפי משפט השילוש הרגיל), הגראם שמידט שנבצע על B יהיה בלי נירמול, לאהאם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר? כלומר, גם אם ננרמל בטוח שהמטריצה תהיה משולשית, אבל בכיתה אמרו שVk~ (~ = החדש, של בסיס א"ג) שווה לVk=תשובה==לפי ההגדרה f:VxV-1~ ועוד צ"ל של v1~,>F לכן בהכרח סקלר. ==שאלה==המרחב הדואלי.vk-2~. כלומר המקדם של Vk-1 שווה ל1, כלומר כמעט ולא עסקנו בו וגם לא נירמלנוניתן לנו תרגיל בית. נכוןהוא יכול להיות במבחן?
===תשובה===
חייבים לנרמל, כי אנחנו רוצים מטריצה מלכסנת א"ג כלומר העמודות שלה הן בסיס א"נ ובפרט מנורמלותהתעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.
שנית, לא מבצעים גרם שמידט על B כי אז זה לא יהיה שילוש יותר. בדיוק כמו שלא מבצעים גרם שמידט על המטריצה המלכסנת על מנת לקבל לכסון א"ג.
התהליך המלא מפורט בחוברת ובאתר + דוגמאות רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...:אבל בהוכחה שמדברת ==שאלה על העתקות ליניאריותהתרגיל==קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, מצאנו שT לפי B אחרי שעבר גראם שמידט הוא מטריצה משולשיתסופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...!:-) ) :זה לא נכון. עושים גרם שמידט בנפרד למרחבים העצמיים (בלכסון) ובשילוש יש תהליך שלםנגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל? =תודה!!=ארז שיינר, אחרת הבסיס לא יהיה מורכב מו"ע. הרי אחרת המטריצות של '''תודה רבה לך על כל''' ההעתקות מעל הבסיס הסטנדרטי היו משולשיות כי זה בא"נ, וזה בוודאי לא נכוןההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.תבוא לתרגל באינפי 2 (: ::למה שכולן יהיו משולשיות? אנחנו לא דורשים שB יהיה בא"נבהחלט כל הכבוד, אלא אנחנו דורשים שB יהיה בסיס של ו"ע! (כלומר הבסיס שמתקבל בלכסון הרגיל), ואז עושים לו גראם שמידט. כך בדיוק צבאן הוכיח לנו מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את משפט השילוש האוניטריהרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו : לפי משפט השילוש המקורי קיים בסיס B של V כך ש[T] לפי B מטריצה משולשיתאין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2. ויהי B.חחח תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב' הבסיס הא"נ המתקבל מהפעלת ג"ש . -מצטרף לתשבוחותרק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על Bבין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. אז מטריצת המעבר [I] מB' לB היא משולשית עליונהלפיכך, ואז לפי חישוב פשוטהינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, [T] לפי B' גם היא משולשית עליונהאם אפשר עם ציורים חמודים.תודה מראש :חחחחחחחחחחחח גדוללל! :::קודם כל מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8) חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!! =שאלה=בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.מה לעשות? ===תשובה===אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''למטריצה שאינה לכסינה אין בסיס המורכב מו"עישנה''' השילוש נועד למטריצות שאינן לכסינות. דבר שני, יכול להיות שטעיתי בכך שפסלתי את הדרך. אם B הוא הבסיס שמשלשהציון באדום, אז ייתכן שהפעלת גרם שמידט עליו תשלש גם היא (לפי מה שתארת). ללכסון זה יכשל... ובכל מקרה חייבים לנרמל בגלל המשפט הראשון שרשמתיאפשר לשלוח לי מייל בנושא.
==שאלה==
בקשר לציוני תרגילהיי ארז, למה לחלק מהתלמידים הציון הסופי גבוה מהממוצע בין ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע בית לציון .גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחןאי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?תודה רבה!נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
איפה מופיעים סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה... :מתי יפורסמו פתרונות למבחן? ::אחרי שהמבחנים יבדקו :::לא מאמינים. תוכיח :):::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל==שאלה==מה מס' הקורס? :P==אמירה==יש ציונים!!! למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה? הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב? 18/11 מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11? :כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר... :ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו. ::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות מתי הפתיחת מחברות? תשאלו את המרצים ==הכרזה==יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני התרגילביניים') יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו) הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן.. ==שאלה==מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)?נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
===תשובה===
כי הם קיבלו את הבונוס..אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
בעמוד הראשי==הצעה==לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
*הבונוס לא היה אמור להיות 5 נקודות לבוחן?===תשובה===ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
:אבל הבוחן ממש לא אמרנו דבר כזה בשום שלבהיה הוגן.היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה.לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים. מתי יהיו ציונים סופיים? לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן. ==עזרה=פתיחת מחברות===מצאתי מבחנים מה עם פתיחת המחברות של בועז ובוריס כאןהקבוצה של בוריס? אני ממליץ לשאול את בוריס : ) ===לגבי מועד ב'===אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל מי שצריךהסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??http://bis רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'.bgu.co ===תשובה===מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').il/math/?c_inst =3659&name=אלגברה%20לינארית%202=תשובה של דר' צבאן===לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
חיפשתי באתר לתלמידים עם המבחנים של ד"ר צבאן ולא מצאתי שום שאלה ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציוןנמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחוםו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב. לגבי פוליטופיםשאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים. סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מביןאת החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה חומר חדש?? אם של מועד ב' (לטובה או לא- אז כנראה שלא שואלים עליו במבחנים- אני אדע לא להתמקד בולטובה). ואם כן- אז איפה אני יכול למצוא חומר עליו?המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'. מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן): http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html בהצלחה,
ד"ר בועז צבאן
זה חומר חדש. אני לא יודע איפה אפשר למצוא חומר עליו.במשפט ההצגה של ריס- איך אני יודע שתמיד קיים v כך שההצגה של V לפי E היא הוקטור a משלים?(כאשר a הוא וקטור המעבר של T בין E לF.): תודה רבה