:::<math>
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
==שאלה==
אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת...
תודה!
===תשובה===
אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.: תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא נראה בטוח שיש לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"גאותו =ר=פתיחת מחברות==מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן? ==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א, וכו').כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת::תצטרכו איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח אותו במדיוקאת הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי ברור שיש בסיס המורכב מוקטורים עצמייםזה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'. , כי ידוע שו"ע של ע"ע שונים הם בת"לתודה רבה. בכיוון ההפוך :פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים. ==ציוני מבחן==מתי יהיו הציונים בלינארית בערך? ===תשובה===הבדיקה בשלביה האחרונים, אם הריבוי הגיאומטרי קטן ממש מהאלגברי אז ברור שאין בסיס המורכב מו"ע משיקולי מימדיםאנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא ==מקום הפרסום==היי ארז.איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה! ===תשובה===אני לא יודע, אני אודיע כשאדע == שאלה == אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
==שאלה==
בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפת?
אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E? ==לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי=תשובה===מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא מעל R יכולה לעזור לנו?תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי == הוכח\הפרך == שאלה מהמבחן של Rבוריס שנה שעברה, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימיםהאם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>
===תשובה===
לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הואבאמת ממעלה 2 תמיד), שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכביםאבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, ולפעמים אנחנו אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא מעוניינים בזהנכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..) == שאלה == אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה כמו שיש מטריצות שהן לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא לכסינות מעל הממשיים מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math> ===הוכחה===דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל כן מעל המרוכבים<math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה. עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו). ==השלמה לבסיס==האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס? ===תשובה===זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ויש מטריצות שאינן לכסינות כללומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
==שאלה==
כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימלייםאיך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים? ::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0. ===תשובה=== תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה ==שאלה==איך מוכיחים את הכיוון הבא:אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
===תשובה===
בקלות:צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1. T אוניטרית ולכן <math>f_A=|A-xI|=|PTT^{-1}BP-xI|*=|PT^{-1}BP-xP^{-1}P|*T= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_BI</math>:זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם נבדוק את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.:המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: צודק<math><Tv_i, טעות שלי. עשינו אבל את ההוכחה הזו עשינו בתרגיל באמת Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (כמו שרשמת מראים שיש אותם פולינומים מאפסיםראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות)ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
==שאלה==
האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש:איפה הטעות שלי?נניח Length Tv V,W >= Length v(אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חח)Y(V>אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימיתלכל V שייך ל- V.כלומר Tv-vxTv-v=0לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=I
===תשובה===
קודם כל, אונטרי זה לא I, אלא T אוניטרי אם TT*=Iא. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
שנית, אסור לעשות אם W מכיל את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. <math><Tv,Tv>הגרעין והמימד שלו n-<v,v>\neq <Tv-v,Tv-v></math>1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל. הכלל הנכון הינו <math><v,u>-<w,u>=<v-w,u></math>
שלישית, למדנו בתרגיל שאופרטור הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימיתב. ואם זה לא מספיק, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשימשפט ההצגה של ריס.
:: השאלה שלי הייתה אם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי. לא נורמות ולא מ"פ. מרחקים.
::: ומה ההבדל בין שמירת נורמה לשמירת מרחקים? איך מודדים מרחק? אתה בעצמך רשמת נורמה בשאלה...
:::: אני כתבתי רק את השאלה המקורית, לא את שתי השורות שמתחתיה. מרחק זה הנורמה של הפרש הוקטורים.
::::: אז אם מרחק זה נורמה, והנורמה נשמרת אז ברור שהמרחק נשמר. ולחילופין, כל נורמה היא מרחק של הוקטור מאפס. זה שקול לחלוטין. אלה שמות שונים לאותו הדבר
==החזרת תרגיליםשאלה==ארז - ביום שני הקרוב (מחרתיים) יש לנו שיעור חזרה, ועדיין לא קבלתי את כל התרגילים בחזרה וחשוב לי לראות מה עשיתי - האם הם כבר נבדקו? ולגבי אלה שנבדקו, מאיפה אפשר לאסוף אותםאיך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת?A דומה לA^t
===תשובה===
אם הם יחזרו אלינו אנחנו נחזיר אותם ביום שניבעזרת השאלה ממתחת. בכל מקרה אני ממליץ לקרוא את הפתרונות שיש באתר A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש<math>A^t=(בלי שום קשר לתרגיליםP^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות. החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
==שאלה==
בהוכחה של משפט אוילר כתוב שאם ההצגה של אם אני יודע שה"ל T אורתוגונלי מעל V ממימד N בהצגה לפי בא"נ B במרחב ממימד 2 הסטנדרטי היא Ref a, ניתן לשנות את הבסיס ככה שזה ייצא מטריצה שיש בה במקום 11 מינוס אחתטראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, במקום 22 אחת ובשאר אפסים. איך משנים אני משנה את הבסיס כדי שייצא ככהשהיא תצא בלוק ז'ורדן?
===תשובה===
ניקח אופרטור שיקוף לפי ישר מסוים. מה האופרטור עושה לוקטור שנמצא על הישר? כלום, משאיר מסדר אותו כמו שהואמהסוף להתחלה. מה האופרטור עושה לוקטור המאונך לישר? הופך אותו לצד השני, כלומר מחזיר את מינוס הוקטורזה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. לכן ניקח את מעבר הבסיס שהוא וקטור על הישר שלפיו משקפים ווקטור מאונך לו. זה תמיד יהיה בסיס (למה?).להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
זה הסבר ל2 על 2. אבל למדנו שכל אופרטור א"ג הוא סכום ישר של אופרטורים על מרחבי 2 על ==שאלה==הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כןTT=ITT*=Iואז T=T* משמע שזה אמת
:למדנו שהוא סכום ישר של סיבובים עם מינוס אחדים ואחדים===תשובה===בוודאי שההופכית יחידה... מה האחדים והמינוס אחדים מייצגים?
::או שיקוף (מינוס אחד) או פשוט שליחת וקטור לעצמו (אחד)וזו הוכחה נכונה. הרי מה מטריצה הזו עושה לוקטורי הבסיס? מסובבת זוגות של וקטורי בסיס, חלק משאיר כמו שהם, וחלק משקפת כלומר הופכת את הכיוון
:תודה! (::אם אני ממש רוצה למצוא == 2 שאלות==1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים? 2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את הבסיס המפורש שבשאלה, זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה אני עושהבעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?:::: איזה שאלה? רשמתי איך מוצאים את הבסיסתודה!
==שאלה - אורתוגונליות של אופרטור==
תוך כדי הוכחת חלק קטן ממשפט אוילר, שבא להוכיח את אחת מטענות העזר הרבות הבאה:
אם T אורתוגונלי, U אינווריאנטי, אזי גם U+ אינווריאנטי,
נתקלתי במשהו שלא הבנתי מההרצאה:
T אורתוגונלית, אז מדוע היא חח"ע? האם כל T אורתוגונלית בכל תת-מרחב (גם לא T-אינווריאנטי) תהיה חח"ע?
===תשובה===
מה 1. זה מטריצה נכון רק לאופרטורים א"ג? מטריצה שעמודותיה הן בסיס א"נ, ובפרט הן בסיסולא לכל אופרטור. כלומר זו מטריצה '''הפיכה''' ובוודאי חח"עההוכחה היא באינדוקציה. אם היא לא הייתה חחאנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ע היה לה גרעין לי טריוויאלה, וזו סתירה לכך שעמודותיה הן בת"לג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
::אההה מצויןלאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, תודה!::ויש לי עוד שאלה: בהוכת המשפט: 'יהי V מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל Rמרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, ו-T אופרטור אורתוגונלי, אזי קיים בא"נ עבורו ההצגה של T היא מטריצת בלוקים שכוללת: <math>Rot(a_1) . . . Rot(a_k)והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 . . . או n-1, 1, 2. . . 1</math> (אלו הם הבלוקים, והשאר אפסים)'לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.
::הוכחנו בעצם באינדוקצייה, אבל משהו פה נראה לי מוזר:זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
::כשהגענו למקרה ה-n עבור n>2 אמרנו שבגלל ש-T אורתוגונלית יש תת. צ"מ אינווריאנטי U ממימד ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1 או 2}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1, ואז יש לו בא"נ B1 כאשר ההעתקה המצומצמת של T עבור U לפי הבסיס B1 היא מהצורה הדרושה. בנוסף.., נובע גם שיש גם U+ שהמימד שלו קטן מw_{i-n1}</math>. איך פתאום קפצנו מכאן למשפט הבא: '''"לכן על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי הנחת האינדוקצייה יש בא"נ B2 עבור U+ עבורו ההצגה של ההעתקה המצומצמת T לההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-U+ לפי B2 היא כנדרש"'''? על איזו הנחה מדובר?1}</math> מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת
:::מה זו הנחת האינדוקציה? זה בדיוק מה שצריך להוכיח הרי. האינדוקציה פה נעשית על המימד. כלומר אנחנו מניחים שכל אופרטור א"ג הוא מהצורה הזו אם הוא פועל על מרחב ממימד n. כעת אנחנו לוקחים את המרחב הגדול<math><w_i, ומפרקים אותו לשני תתי מרחבים אינווריאנטיים Uw_j>=<v_i, U+ שהמימד שלהם קטן ממש מהמימד של המרחב כולו. לכן לפי הנחת האינדוקציה האופרטור נראה כמו במשפט על כל אחת מתתי המרחבים הללוw_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה. ::::אהההה תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי, אז הנחת האינדוקצייה שפועלת על המימד נכונה כאן כי אנחנו משתמשים בה עבור U+ שאנחנו יודעים שהמימד שלו קטן ממש מ: בנוגע ל-n, וההנחה היא עבור 1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. . nלמה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1, ובעצם מוכיחים עבור סכום הישר של ההצגות המצומצמות על האלכסון? :::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של T השיקוף לפי הבסיסים שלהם בהבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-n1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>. נחמד מאוד :) ! תודה ארז:::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa, אין עליך!!sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.:::::: אוקי, שוב תודה :)
==שאלה==
בפתרונות של שאלה מס' 3 סעיף א' בתרגיל 11, כתוב שזה העתקה בי לינאריתיש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. לא הבנתי איך, קח y=0'0'0 x=אשמח לעזרה...הוכח\הפרך: 1. לכל מטר'1'1 ותקבל f(xA מרוכבת,y)=1 כשאמור לצאת 0I+A*A אינה סינגולרית. 2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A. תודה לעוזר הנחמד.
===תשובה===
צודק1. הוכחה: אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, זו טעותנוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>. כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים. 2. הפרכה: ניקח A=I. נתקןאזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A:תודה רבה רבה רבה
==שאלה==
בהוכחה למעלה יש איזה שאלה שאני לך מעבר לא מצליחנכון, אשמח לעזרה.יהי V מ"ו מעל F ויהי W ת"מ של V. יהי Q פונקציונל לינארי מV לF. ידוע ש ker Q מוכל בW<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון. הוכח: W=V או W=ker Q.
===תשובה===
אנחנו פותרים מחר שאלה שכנראה תעזור לך. בינתיים אני ארמוז: מה המימד שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של הגרעין של פונקציונל?:המשך. הגרעין חייב להיות dimv-1 או שהוא יכול להיות גם dimv? כלומר, יש סיכוי שהמימד של IMT יהיה 0?::פונקציונל האפס..<math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
==שאלה - העתקה אוניטרית==אני רוצה להוכיח :עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה::A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש-T אוניטרית ::A(TT*=T*T=A^2+I) אם ורק אם T שומרת מ"פ.(A-2I)=0כיוון אחד טרוויאלי, בכיוון השני אני צריך להוכיח שאם T שומרת מ"פ היא אוניטרית:הוכח: A לכסינה. איך אני עושה את זה?הגעתי למצב שלכל w,v מתקיים:<v,T*Tw>=<v,w>עכשיו, אני יכול לפתח את תשובה זה כךמתפרק לפולינום שA פותרת אותו:<v,T*Tv>=<v,v> לכל vx(x-i)(x+i)(x-2) zאנחנו יודעים שA מרוכבת,לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.אבל איך אני יכול להמשיך מכאן? כלומרמלבד זאת, אם <a,b>=<a,c> לכל a, האם זה בהכרח אומר ש-b=c?אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A):מהמצב ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה-<v,T*Tw>=<v,w> אתה יכול להעביר אגף ולהשתמש בלינאריות במשתנה ראשון ולקבל v,T*Tw-w>=0>. זה נכון ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל vמטריצה מסדר 3X3, בפרט הוא מהצורהלv=T*Twhttp://math-w לכן תקבל שT*Tw-w,T*Tw-w>=0>wiki. מחיוביות תקבל שT*Tw-w=com/images/math/4/0 לכל w לכן T*Tw=Iw לכל w ולכן ההעתקות שוות, T*T=I/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.pngוזה אם ורק אם A לכסינה :זאת :איך קטנה שווה 3? לא ההוכחה שיש באתראמור להיות קטנה שווה ל4?הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!! :: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
==שאלה==
בקשר למשפט השילוש האוניטרי. (למשל עבור ה"ל). אם יש לנו בסיס B כך ש[T] לפי B משולשית (לפי משפט השילוש הרגיל)שיינר, הגראם שמידט שנבצע על B יהיה בלי נירמול, לא? כלומר, גם אם ננרמל בטוח שהמטריצה תהיה משולשית, אבל בכיתה אמרו שVk~ (~ = החדשאפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של בסיס א"ג) שווה לVk-1~ ועוד צ"ל של v1~,..vk-2~. כלומר המקדם של Vk-1 שווה ל1משפט אוילר, כלומר לא נירמלנו. נכוןשאותו אנחנו צריכים לדעת?
===תשובה===
חייבים לנרמלאני לא יכול לעזור בזה, כי אנחנו רוצים מטריצה מלכסנת א"ג כלומר העמודות שלה הן בסיס א"נ ובפרט מנורמלותכיוון שלא ראיתי את המבחן. תנסו להבין כמה שאתם יכולים. :אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא. אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
שניתזו שאלה שונה, לא מבצעים גרם שמידט על B כי אז זה לא יהיה שילוש יותר. בדיוק כמו שלא מבצעים גרם שמידט על המטריצה המלכסנת על מנת לקבל לכסון א"גהמשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
התהליך המלא מפורט בחוברת ובאתר + דוגמאות.:אבל בהוכחה שמדברת על העתקות ליניאריות, מצאנו שT לפי B אחרי שעבר גראם שמידט הוא מטריצה משולשית..!::זה לא נכון. עושים גרם שמידט בנפרד למרחבים העצמיים (בלכסון) ובשילוש יש תהליך שלם, אחרת הבסיס לא יהיה מורכב מו"ע. הרי אחרת המטריצות של '''כל''' ההעתקות מעל הבסיס הסטנדרטי היו משולשיות כי זה בא"נ, וזה בוודאי לא נכון.:::למה שכולן יהיו משולשיות? אנחנו לא דורשים שB יהיה בא"נ, אלא אנחנו דורשים שB יהיה בסיס של ו"ע! (כלומר הבסיס שמתקבל בלכסון הרגיל), ואז עושים לו גראם שמידט. כך בדיוק צבאן הוכיח לנו את משפט השילוש האוניטרי: לפי משפט השילוש המקורי קיים בסיס B של V כך ש[T] לפי B מטריצה משולשית. ויהי B' הבסיס הא"נ המתקבל מהפעלת ג"ש על B. אז מטריצת המעבר [תודה I] מB' לB היא משולשית עליונה, ואז לפי חישוב פשוט, [T] לפי B' גם היא משולשית עליונה.::::קודם כל '''למטריצה שאינה לכסינה אין בסיס המורכב מו"ע''' השילוש נועד למטריצות שאינן לכסינות. דבר שני, יכול להיות שטעיתי בכך שפסלתי את הדרך. אם B הוא הבסיס שמשלש, אז ייתכן שהפעלת גרם שמידט עליו תשלש גם היא (לפי מה שתארת). ללכסון זה יכשל.GUESS.. ובכל מקרה חייבים לנרמל בגלל המשפט הראשון שרשמתי.
==שאלה==
בקשר לציוני תרגיל, למה לחלק מהתלמידים הציון הסופי גבוה מהממוצע בין הממוצע בית לציון בוחןאם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
איפה מופיעים ציוני התרגיל??::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
===תשובה===
כי הם קיבלו את הבונוס...
בעמוד הראשי::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ... מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
*הבונוס לא היה אמור להיות 5 נקודות לבוחן?==שאלה==איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
לא אמרנו דבר כזה בשום שלב...נתונה מטריצה A:
*אז מה הוא היה? עיגול ל100?0 0 0 5
עיגול זה מילה מצחיקה פה, אבל בגדול זה מה שיצא. הציון המקסימלי הינו 100, ולא במפתיע התלמידים שזכו בבונוס היו לא רחוקים ממנו גם ככה.0 0 4 1
*ובכל זאת אפשר לדעת טכנית מה הוא היה? תוספת של כמה נקודות והאם התוספת הייתה לבוחן, לתרגילי בית או לסופי?0 3 3 2
הוא היה נתון לשיקול הדעת האישי שלי.3 6 5 4
==עזרה==מצאתי מבחנים א) מצא את צורת הז'ורדן של בועז ובוריס כאן: A (לכל מי שצריך)http://bis.bgu.co.il/math/?c_inst=3659&name=אלגברה%20לינארית%202 חיפשתי באתר צדקת ארז, זה באמת עם המבחנים של ד"ר צבאן ולא מצאתי שום שאלה לגבי פוליטופיםז'. זה חומר חדש?? אם לא- אז כנראה שלא שואלים עליו במבחנים- אני אדע לא להתמקד בו. ואם כן- אז איפה אני יכול למצוא חומר עליו?חחח)
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
תודה!
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה חומר חדש::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. אני לא יודע איפה אפשר למצוא חומר עליוצריך לדעת.
== שאלה ==
איפה המבחן מחר?
לפי אורי וייס
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
== שאלה ==
סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
==משפט ההצגה של ריס==
במשפט ההצגה של ריס- איך אני יודע שתמיד קיים v כך שההצגה של V לפי E היא הוקטור a משלים?(כאשר a הוא וקטור המעבר של T בין E לS.)
===תשובה===
T אורתוגונאלי, ולכן לא הבנתי את השאלה...מנוון:אני חושב שאני הבנתי. זה משום שהצגה לכן, לפי בסיס זה איזומורפיזם בין V לF^nמשפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+כלומר לכל תמונה יש מקורw בU קיים w' כך ש T(w')=wנניח y במרחב הניצב למרחב המקורי<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>ולכן Ty גם בU+ ==שאלה==האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?==תשובה==לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
==שאלה==
היטל אפשר לחשב גם בעזרת בסיס א"ג? בהרבה הוכחות שלנו עשינו גראם שמידט בלי נירמול ואז השתמשנו בהיטליםהמרחב הדואלי. [אבל בכיתה הגדרנו היטל על בסיס א"נ!]כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
===תשובה===
הגדרנו גם היטל על בסיס א"ג, ולמעשה השיטה שלמדנו בתרגיל לאלגוריתם ג"ש מתבססת על היטל על קבוצה א"ג ולא קבוצה א"נהתעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן. ולכן אנחנו מחלקים בנורמה
נניח <math>S=\{v_1,..v_n\}</math> קבוצה א"ג אזי ההיטל של וקטור <math>v</math> על הקבוצה הינו <math>\pi_S(v)=\sum_{i=1}^n\frac{<v,v_i>}{<v_i,v_i>}v_i</math>.
בג"ש רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר... ==שאלה על התרגיל==קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) ) :לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל? =תודה!!=ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.תבוא לתרגל באינפי 2 (: : בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו :אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'. -מצטרף לתשבוחותרק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו מחסרים הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש :חחחחחחחחחחחח גדוללל! :מאיפה אתה קונה את ההיטל מהוקטורהעניבות האלה? גמאני רוצה 8) חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!! =שאלה=בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.מה לעשות? ===תשובה===אם זה לא משפיע על הציון הסופי, וקל לראות אז להבין שזה בדיוק החלק השלילי בנוסחא של ג"לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
==שאלה==
יהיה V היי ארז,ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?תודה רבה!נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!! סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה... :מתי יפורסמו פתרונות למבחן? ::אחרי שהמבחנים יבדקו :::לא מאמינים. תוכיח :):::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל==שאלה==מה מס' הקורס? :P==אמירה==יש ציונים!!! למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה? הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב? 18/11 מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11? :כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר... :ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו. ::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות מתי הפתיחת מחברות? תשאלו את המרצים ==הכרזה==יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים') יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו מעל C-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו) הממוצע מאד גבוה, אזי קיים פונקציונל לינארי מV לRאם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן. למה זה . ==שאלה==מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא ייתכןכולל קורסי קיץ)?נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
===תשובה===
כי לפי הגדרה, פונקציונל הוא מהמרחב לשדהאת אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'. ולפי ההגדרה שלך השדה הינו C ולא R. במינימום, תכפול בסקלר i ולא תהיה לך סגירות בכלל
==שיעור החזרההצעה==איפה לדעתי יהיה השיעור חזרה? איפה כל קבוצה? ועד מתי הוא ימשך?הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
===תשובה===
קיבלתם על זה הודעה, אני לא זוכר את כל המיקומים בע"פציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות. הוא יהיה במשך שיעור רגיל החל משלוש וחצי, הקבוצה שלי נדמה לי ב202 204
ומה עם הקבוצה של לואי? ולא קיבלנו על זה שום הודעה:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן.היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
איכשהו תמיד אומרים את זה הסטודנטים שבדר"כ ::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא מקבלים הודעות ולא מטפלים בזהלחפש סיבות למה לתת לכולם 100.לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית.אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. סטודנטים קיבלו הודעותהשורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. תבררו מחר במחלקה בדיוק איפה זהאני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
בקשה:מתי יהיו ציונים סופיים?
בבקשה תצ'פרו את כולם ב 10 לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 נקודות לציון אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי של התרגילשפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
הציונים הם אחרי התוספת ===פתיחת מחברות===מה עם פתיחת המחברות של ה20 נקודות כברהקבוצה של בוריס? אני ממליץ לשאול את בוריס :) ===לגבי מועד ב'===אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)?? רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'.. ===תשובה===מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א'). ===תשובה של דר' צבאן===לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'. לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציוןנמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחוםו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.
מה אחוז התרגיל בציון הסופי?לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html
בהצלחה,
ד"ר בועז צבאן
בהרצאה ה-15 ד"ר צבאן אמר שעבור אופרטורים התכונות הבאות שקולות:1. T אוניטרי.2. T שומר מ"פ.3. T שומר זויות ונורמות.את 2 גורר אחד הוא אמר לנו להוכיח לבד. איך עושים את זה!?!? זה ממש לא נראה לי נכון.1 גורר 2 הבנתי, 2 אמ"ם 3 הבנתי, אבל למה 2 גורר 1???תודה רבה
