'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
==שאלה==
אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת...
תודה!
===תשובה===
אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.: תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא נראה בטוח שיש לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"ג=ר"א, וכו').::תצטרכו לנסח אותו במדיוק. אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי ברור שיש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים, כי ידוע שו"ע של ע"ע שונים הם בת"ל. בכיוון ההפוך, אם הריבוי הגיאומטרי קטן ממש מהאלגברי אז ברור שאין בסיס המורכב מו"ע משיקולי מימדים.
==שאלהפתיחת מחברות==בשינוי בסיס מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפתד"ר צבאן?
==לכסון ושילוש פתרון המבחן- אורתוגונלי ואוניטריבקשה מהמתרגלים והמרצים==מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?שנוכל לראות בצורה מדוייקתאיך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'. ,תודה רבה.
בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים. ==ציוני מבחן==מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
===תשובה===
לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכביםהבדיקה בשלביה האחרונים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזה. מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכבים, ויש מטריצות שאינן לכסינות כלל==מקום הפרסום==היי ארז.איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
==שאלה==
כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?
===תשובה===
בקלות:אני לא יודע, אני אודיע כשאדע <math>f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|שאלה =|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B</math>:זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.:: צודקאהמ, טעות שלי. עשינו אבל את ההוכחה הזו עשינו בתרגיל באמת (כמו שרשמת מראים שיש אותם פולינומים מאפסים)מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
==שאלה==
האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?
:איפה הטעות שליאם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?נניח Length Tv = Length v(אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חח)אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימית.כלומר Tv-vxTv-v=0לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=I
===תשובה===
קודם כל, אונטרי זה לא I, אלא T אוניטרי כן. כי אם TT*=Iנכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
שנית== הוכח\הפרך == שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, אסור לעשות את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. <math><Tv,Tv>האם מישו הצליח לפתור?-<v,v תהי A מטריצה ממעלה >\neq <Tv=2 כך ש-v,Tv-v></math>. הכלל הנכון הינו degA=2 <math><v,u>-<w,u>=<v-w,u>rkA=1(</math>
שלישית===תשובה===אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, למדנו בתרגיל שאופרטור ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימית. ואם באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא מספיקבהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשיאלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
'''תשובה:: השאלה שלי הייתה אם אופרטור שומר מרחקים ''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא בהכרח אוניטריn-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). לא נורמות ולא מ"פמכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. מרחקים.::: ומה ההבדל בין שמירת נורמה לשמירת מרחקים? איך מודדים מרחק? אתה בעצמך רשמת נורמה בשאלה...:::: אני כתבתי רק את השאלה המקורית, לא את שתי השורות שמתחתיה. מרחק זה הנורמה אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של הפרש הוקטורים0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש.::::: אז אם מרחק זה נורמה, והנורמה נשמרת הוא N-1 אז ברור שהמרחק נשמרמכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. ולחילופיןלכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל נורמה היא מרחק של הוקטור מאפסבלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך. זה שקול לחלוטין. אלה שמות שונים לאותו הדבר)
==החזרת תרגיליםשאלה ==ארז - ביום שני הקרוב (מחרתיים) יש אני יודעת שאתמול הוכחת לנו שיעור את זה לפני השיעור חזרה, ועדיין אבל זה היה ממש לא קבלתי את כל התרגילים בחזרה וחשוב לי לראות מה עשיתי מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:ככה: T נורמלי הוכח ש- האם הם כבר נבדקו? ולגבי אלה שנבדקו<math>im(T)=im(T^*)</math> ===הוכחה===דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv, מאיפה אפשר לאסוף אותםu>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה. עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו). ==השלמה לבסיס==האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
===תשובה===
אם הם יחזרו אלינו אנחנו נחזיר אותם ביום שניזו שאלה מלינארית 1. בכל מקרה אני ממליץ לקרוא על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הפתרונות שיש באתר (בלי שום קשר לתרגילים)הצירים החסרים.
==שאלה==
בהוכחה של משפט אוילר כתוב שאם ההצגה של T אורתוגונלי לפי באאיך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"נ B במרחב ממימד 2 היא Ref aע אחד שהוא 0 ? בנוסף, ניתן לשנות את הבסיס ככה שזה ייצא מטריצה שיש בה במקום 11 מינוס אחת, במקום 22 אחת ובשאר צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסיםבאלכסון היא נילפוטנטית. איך משנים אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את הבסיס כדי שייצא ככהמט' האפס. איך ממשיכים?
===תשובה===ניקח אופרטור שיקוף לפי ישר מסוים. מה האופרטור עושה לוקטור שנמצא ::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על הישר? כלוםזה ככה: לפי משפט השילוש, משאיר אותו כמו שהוא. מה האופרטור עושה לוקטור המאונך לישר? הופך אותו לצד השני0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), כלומר מחזיר את מינוס הוקטורולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. לכן ניקח אם תציב את הבסיס שהוא וקטור על הישר שלפיו משקפים ווקטור מאונך לו. זה תמיד יהיה בסיס A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (למה?במקרה זה k=n)עבורו A^k=0.
זה הסבר ל2 על 2===תשובה=== תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. אבל למדנו שכל אופרטור אנניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"ג הוא סכום ישר של אופרטורים על מרחבי א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2 על *l^2=0.אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
==שאלה==איך מוכיחים את הכיוון הבא:למדנו שהוא סכום ישר של סיבובים עם מינוס אחדים ואחדים. מה האחדים והמינוס אחדים מייצגים?אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
::או שיקוף (מינוס אחד) או פשוט שליחת וקטור לעצמו (אחד)===תשובה===צריך להוכיח שאם <math>v_1,. הרי מה מטריצה הזו עושה לוקטורי הבסיס? מסובבת זוגות ..v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של וקטורי בסיסבא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, חלק משאיר כמו שהם, וחלק משקפת כלומר הופכת את הכיווןוהמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:::אם אני ממש רוצה למצוא את הבסיס המפורש שבשאלה<math><Tv_i, מה אני עושה?:::: איזה שאלה? רשמתי איך מוצאים את Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיסהחדש הינו א"נ.
==שאלה - אורתוגונליות של אופרטור==תוך כדי הוכחת חלק קטן ממשפט אוילרא. יהי V מ"ו ממימד סופי, שבא להוכיח יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את אחת מטענות העזר הרבות הבאה:KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y אם T אורתוגונלי, U אינווריאנטי, אזי גם U+ אינווריאנטי,נתקלתי במשהו שלא הבנתי מההרצאה:T אורתוגונלית, אז מדוע היא חחב. יהי V ממ"ע? האם כל T אורתוגונלית בכל תתפ ממימד סופי. יה Y שייך ל-מרחב V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= (גם לא TY(V>לכל V שייך ל-אינווריאנטי) תהיה חח"ע?V.
===תשובה===
מה זה מטריצה א"ג? מטריצה שעמודותיה הן בסיס א"נ, ובפרט הן בסיס. כלומר זו מטריצה '''הפיכה''' ובוודאי חח"עאתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). אם היא לא הייתה חח"ע היה לה גרעין לי טריוויאלה, וזו סתירה לכך שעמודותיה הן בת"לבמקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
::אההה מצוין, תודה!::ויש לי עוד שאלה: בהוכת המשפט: 'יהי V מעל R, ואם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-T אופרטור אורתוגונלי, 1 אזי קיים בא"נ עבורו ההצגה של T היא מטריצת בלוקים שכוללת: <math>Rot(a_1) הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. . Rot(a_k), -1 . . . -1, 1, . . . 1</math> (אלו הם הבלוקים, והשאר אפסים)'אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
::הוכחנו בעצם באינדוקצייה, אבל משהו פה נראה לי מוזר:ב. זה משפט ההצגה של ריס.
::כשהגענו למקרה ה-n עבור n>2 אמרנו שבגלל ש-T אורתוגונלית יש תת"מ אינווריאנטי U ממימד 1 או 2, ואז יש לו בא"נ B1 כאשר ההעתקה המצומצמת של T עבור U לפי הבסיס B1 היא מהצורה הדרושה. בנוסף, נובע גם שיש גם U+ שהמימד שלו קטן מ-n. איך פתאום קפצנו מכאן למשפט הבא: '''"לכן לפי הנחת האינדוקצייה יש בא"נ B2 עבור U+ עבורו ההצגה של ההעתקה המצומצמת T ל-U+ לפי B2 היא כנדרש"'''? על איזו הנחה מדובר?
:::מה זו הנחת האינדוקציה==שאלה==איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? זה בדיוק מה שצריך להוכיח הריA דומה לA^t ===תשובה===בעזרת השאלה ממתחת. האינדוקציה פה נעשית על המימדA דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. כלומר אנחנו מניחים שכל אופרטור א"ג הוא מהצורה הזו אם הוא פועל אבל על מרחב ממימד n. כעת אנחנו לוקחים את המרחב הגדולידי החלפת בסיס מתאימה, ומפרקים אותו לשני תתי מרחבים אינווריאנטיים U, U+ שהמימד שלהם קטן ממש מהמימד של המרחב כולו. לכן לפי הנחת האינדוקציה האופרטור נראה כמו במשפט על כל אחת מתתי המרחבים הללוצורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
::::אהההה הבנתיהחלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז הנחת האינדוקצייה שפועלת על המימד נכונה כאן כי אנחנו משתמשים בה עבור U+ שאנחנו יודעים שהמימד שלו קטן ממש מ-nנחליף לבסיס <math>v_3, וההנחה היא עבור 1v_2, . . n-1v_1, ובעצם מוכיחים עבור סכום הישר של ההצגות המצומצמות של T לפי הבסיסים שלהם ב-nv_5,v_4</math>. נחמד מאוד :) ! תודה ארז, אין עליך!!
==שאלה==
בפתרונות אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של שאלה מסבלוק ז' 3 סעיף א' בתרגיל 11ורדן בגודל NXN, כתוב שזה העתקה בי לינארית. לא הבנתי איך, קח y=0אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'0'0 x=1'1'1 ותקבל f(x,y)=1 כשאמור לצאת 0...ורדן?
===תשובה===
צודק, זו טעותמסדר אותו מהסוף להתחלה. נתקןזה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
==שאלה==
יש איזה שאלה שאני לא מצליח, אשמח לעזרה.יהי V מ"ו מעל F ויהי W ת"מ של V. יהי Q פונקציונל לינארי מV לF. ידוע ש ker Q מוכל בW. הוכח\הפרך: Wמעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=V או W=ker QI אז T סימטרי.האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כןTT=ITT*=Iואז T=T* משמע שזה אמת
===תשובה===
אנחנו פותרים מחר שאלה שכנראה תעזור לךבוודאי שההופכית יחידה... בינתיים אני ארמוז: מה המימד של הגרעין של פונקציונל?:המשךוזו הוכחה נכונה. הגרעין חייב להיות dimv- :תודה! (: == 2 שאלות==1 או שהוא יכול להיות גם dimv? כלומר, ) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש סיכוי שהמימד בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של IMT יהיה 0סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?::פונקציונל האפס2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה.עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי.תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים? תודה!
==שאלה - העתקה אוניטרית==
אני רוצה להוכיח ש-T אוניטרית (TT*=T*T=I) אם ורק אם T שומרת מ"פ.
כיוון אחד טרוויאלי, בכיוון השני אני צריך להוכיח שאם T שומרת מ"פ היא אוניטרית. איך אני עושה את זה?
הגעתי למצב שלכל w,v מתקיים:
<v,T*Tw>=<v,w>
עכשיו, אני יכול לפתח את זה כך:
<v,T*Tv>=<v,v> לכל v,
אבל איך אני יכול להמשיך מכאן? כלומר, אם <a,b>=<a,c> לכל a, האם זה בהכרח אומר ש-b=c?
:מהמצב הזה-<v,T*Tw>=<v,w> אתה יכול להעביר אגף ולהשתמש בלינאריות במשתנה ראשון ולקבל v,T*Tw-w>=0>. זה נכון לכל v, בפרט
לv=T*Tw-w לכן תקבל שT*Tw-w,T*Tw-w>=0>. מחיוביות תקבל שT*Tw-w=0 לכל w לכן T*Tw=Iw לכל w ולכן ההעתקות שוות, T*T=I.
:זאת לא ההוכחה שיש באתר?
==שאלה==
בקשר למשפט השילוש האוניטרי. (למשל עבור ה"ל). אם יש לנו בסיס B כך ש[T] לפי B משולשית (לפי משפט השילוש הרגיל), הגראם שמידט שנבצע על B יהיה בלי נירמול, לא? כלומר, גם אם ננרמל בטוח שהמטריצה תהיה משולשית, אבל בכיתה אמרו שVk~ (~ = החדש, של בסיס א"ג) שווה לVk-1~ ועוד צ"ל של v1~,..vk-2~. כלומר המקדם של Vk-1 שווה ל1, כלומר לא נירמלנו. נכון?
===תשובה===
חייבים לנרמל, כי אנחנו רוצים מטריצה מלכסנת 1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג כלומר העמודות שלה הן בסיס , ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"נ ובפרט מנורמלותג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
שנית, לא מבצעים גרם שמידט על B כי אז זה לא יהיה שילוש לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר. בדיוק כמו שלא מבצעים גרם שמידט על המטריצה המלכסנת על מנת לקבל לכסון , מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"גמעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.
התהליך המלא מפורט בחוברת ובאתר + דוגמאות.:אבל בהוכחה שמדברת על העתקות ליניאריות, מצאנו שT לפי B אחרי שעבר גראם שמידט הוא מטריצה משולשית..!::זה לא נכון. עושים גרם שמידט בנפרד למרחבים העצמיים (בלכסון) ובשילוש יש תהליך שלם, אחרת הבסיס לא יהיה מורכב מו"ע. הרי אחרת המטריצות של '''כל''' ההעתקות מעל הבסיס הסטנדרטי היו משולשיות כי זה בא"נ, וזה בוודאי לא נכון.:::למה שכולן יהיו משולשיות? אנחנו לא דורשים שB יהיה בא"נ, אלא אנחנו דורשים שB יהיה בסיס של ו"ע! (כלומר הבסיס שמתקבל בלכסון הרגיל), ואז עושים לו גראם שמידט. כך בדיוק צבאן הוכיח לנו את משפט השילוש האוניטרי: לפי משפט השילוש המקורי קיים בסיס B של V כך ש[T] לפי B מטריצה משולשית. ויהי B' הבסיס הא"נ המתקבל מהפעלת ג"ש על B. אז מטריצת המעבר [I] מB' לB היא משולשית עליונה, ואז לפי חישוב פשוט, [T] לפי B' גם היא משולשית עליונה.::::קודם כל '''למטריצה שאינה לכסינה אין בסיס המורכב מו"ע''' השילוש נועד למטריצות שאינן לכסינות. דבר שני, יכול להיות שטעיתי בכך שפסלתי את הדרך. אם B הוא הבסיס שמשלש, אז ייתכן שהפעלת גרם שמידט עליו תשלש גם היא (לפי מה שתארת). ללכסון זה יכשל... ובכל מקרה חייבים לנרמל בגלל המשפט הראשון שרשמתימאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=שאלה1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>==בקשר לציוני תרגיל0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה, למה לחלק מהתלמידים הציון הסופי גבוה מהממוצע בין הממוצע בית לציון בוחן? ולכן המכפלה יוצאת
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
איפה מופיעים ציוני התרגיל??בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
===תשובה===כי הם קיבלו את הבונוס..:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref.למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
בעמוד הראשי:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
*הבונוס ::::עדיין לא היה אמור להיות 5 נקודות לבוחןהבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.:::::: אוקי, שוב תודה :)
==שאלה==יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא אמרנו דבר כזה בשום שלבמצליח לעלות על הכיוון שלה.אשמח לעזרה...הוכח\הפרך:
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*אז מה הוא היה? עיגול ל100?A אינה סינגולרית.
עיגול זה מילה מצחיקה פה, אבל בגדול זה מה שיצא2. הציון המקסימלי הינו 100, ולא במפתיע התלמידים שזכו בבונוס היו לא רחוקים ממנו גם ככהאם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
*ובכל זאת אפשר לדעת טכנית מה הוא היה? תוספת של כמה נקודות והאם התוספת הייתה לבוחן, לתרגילי בית או לסופי?תודה לעוזר הנחמד.
הוא היה נתון לשיקול הדעת האישי שלי===תשובה===1.הוכחה:
==עזרה==מצאתי מבחנים של בועז ובוריס כאן: (לכל מי שצריך)http:אנחנו יודעים ש<math>A^*A<//bismath> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים.bgu.co.ilדבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</?c_instmath> אזי <math>\lambda<v,v>=3659&name<A^*Av,v>=אלגברה%20לינארית%202 חיפשתי באתר עם המבחנים של ד"ר צבאן ולא מצאתי שום שאלה לגבי פוליטופים. זה חומר חדש?? אם לא- אז כנראה שלא שואלים עליו במבחנים- אני אדע לא להתמקד בו<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>. ואם כן- אז איפה אני יכול למצוא חומר עליו?
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
זה חומר חדש. אני לא יודע איפה אפשר למצוא חומר עליו2.הפרכה:
ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
:תודה רבה רבה רבה
==משפט ההצגה של ריסשאלה==במשפט ההצגה של ריס- איך אני יודע שתמיד קיים בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v כך שההצגה של V לפי E היא הוקטור a משלים?(כאשר a הוא וקטור המעבר של T בין E לS> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..)
===תשובה===
לא הבנתי את השאלה...:אני חושב שאני הבנתי. זה משום שהצגה לפי בסיס זה איזומורפיזם בין V לFשים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^n, כלומר לכל תמונה יש מקור.*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
==שאלה==
היטל אפשר לחשב גם בעזרת בסיס א"ג? בהרבה הוכחות שלנו עשינו גראם שמידט בלי נירמול ואז השתמשנו בהיטלים:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה::A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש::A(A^2+I)(A-2I)=0:הוכח: A לכסינה. [אבל בכיתה הגדרנו היטל על בסיס א"נ!]
===תשובה===
הגדרנו גם היטל על בסיס א"ג, ולמעשה השיטה שלמדנו בתרגיל לאלגוריתם ג"ש מתבססת על היטל על קבוצה א"ג ולא קבוצה א"נ. ולכן אנחנו מחלקים בנורמה
נניח <math>S=\{v_1תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:x(x-i)(x+i)(x-2) zאנחנו יודעים שA מרוכבת,לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד..v_n\}</math> קבוצה א"ג אזי ההיטל מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של וקטור <math>v</math> על הקבוצה הינו <math>\pi_Sכל מטריצה (vבפרט A)=מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\sum_{i=1}^n\frac{<v,v_i>}{<v_iשווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3,v_i>}v_i<הוא מהצורהhttp://math>-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.pngוזה אם ורק אם A לכסינה
בג"ש אנו מחסרים ::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!! :: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את ההיטל מהוקטור, וקל לראות שזה בדיוק החלק השלילי בנוסחא של גהפולינום האופיני כאשר הפ"שא הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
==שאלה==
יהיה V מ"ו מעל Cשיינר, אזי קיים פונקציונל לינארי מV לR. למה זה לא ייתכןאם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
===תשובה===
כי לפי הגדרהאני לא יכול לעזור בזה, פונקציונל הוא מהמרחב לשדהכיוון שלא ראיתי את המבחן. ולפי ההגדרה שלך השדה הינו C ולא R. במינימום, תכפול בסקלר i ולא תהיה לך סגירות בכלל
==שיעור החזרה==איפה יהיה השיעור חזרה? איפה כל קבוצה? ועד מתי הוא ימשך?תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
===תשובה===
קיבלתם על זה הודעה, אני לא זוכר את כל המיקומים בע"פ. הוא יהיה במשך שיעור רגיל החל משלוש וחצי, הקבוצה שלי נדמה לי ב202 204
ומה עם הקבוצה של לואי? ולא קיבלנו על זה שום הודעה:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר.מצדי תן קישור לויקיפדיה::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
איכשהו תמיד אומרים את אז תחשוב כמה נחמד זה הסטודנטים שבדר"כ לא מקבלים הודעות להיות יום לפני מבחן ולא מטפלים בזה... סטודנטים קיבלו הודעות. תבררו מחר במחלקה בדיוק איפה זה.לדעת מה אומר המשפט :)
בקשה:זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
בבקשה תצ'פרו את כולם ב 10 או 20 נקודות לציון הסופי של התרגילתודה I GUESS...
הציונים הם אחרי התוספת של ה20 נקודות כבר==שאלה==למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
מה אחוז התרגיל בציון הסופי? *לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה ממש וגם מוכיח שזה לא נכון .אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק. לי ספציפית הציון שקיבלתי הוא 100 בשיעורי הבית ו 70 בבוחן והציון הסופי שלי הוא 84.:Sככה שלא נוספה לי אפילו לא שמץ של נקודה !!!אז בבקשה תוסיפו::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
:ציניות אחי חח
==שאלה - 'הגדרה'==נניח שיש שאלה כזו: :תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"הגדר אופרטור צמוד לעצמו '''על V'''" י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ... מה שכן- האם לעניין שהוא 'זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על V' יש משמעות נוספת, במובן של פונקציות, כלומר אפימורפיזם או משהו כזה, או פשוט שהוא 'עובד' ב-V?זה קצת (:
===תשובה=שאלה==הכוונה איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת: נתונה מטריצה A: 0 0 0 5 0 0 4 1 0 3 3 2 3 6 5 4 א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח) ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא לTצורת הז'ורדן של A.תודה! :Vלמדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת. == שאלה ==איפה המבחן מחר? לפי אורי וייס505 כיתה 2->V וצלזה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן... == שאלה == סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"עג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
== פונקציונלים ליניאריים וכל הנושא של המרחב הדואלי ==
אני זוכר שהמרצה שלי (בוריס) אמר בהתחלה כי פונקציונלים ליניאריים לא יהיה בחומר של הסמסטר הזה, אלא של קורס אחר בשם אנליזה פונקציונלית ובשיעורים של סוף הסמסטר הוא בכל זאת לימד את הנושא הזה ולאחר מכן היה גם תרגול בנושא אז האם בכל זאת צריך לדעת פונקציונלים ליניאריים למבחן?
===תשובה===
אני חושב שהם T אורתוגונאלי, ולכן לא היו בטוחים בהתחלה אם ללמד את זה או לא. ברגע שזה נלמד זה בחומרמנווןלכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=wנניח y במרחב הניצב למרחב המקורי<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>ולכן Ty גם בU+
==שאלה - וקטורים עצמיים של ע"ע שונים הם בת"ל==
איך אפשר להוכיח את זה? ואני מאמין שצריך לדעת להוכיח את זה בלי להשתמש במ"פ, כי היא לא בהכרח מוגדרת.
==שאלה==
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
==תשובה==
מניחים בשלילה ת"ל, לוקחים את i כאינדקס הקטן ביותר עבורו אפשר לבטא את Vi בעזרת הקודמים לו ומוכיחים שאפשר לבטא גם את Viלפי ההגדרה f:VxV-1 בניגוד להנחה, ולכן הם ת"ל>F לכן בהכרח סקלר.
==שאלה==
למישהו יש רעיון איך אני מוכיח שהשיוויון בקושי שוורץ גורר שהם ת"ל?:כן - שים לב לקשר המעניין בין אי-שוויון קושי שוורץ לאי-שוויון (שוויון פרסבל) בסלהמרחב הדואלי...::בסדר, אז איך מוכיחים ששיוויון פרסבל גורר שהם ת"ל?:::שוויון פרסבל גורר שהוקטור שייך למרחב שהקבוצה האורתונורמלית שלך פורסת. באי"ש קושי שוורץ מדובר בשני וקטורים, ולכן מבטאים את אי-שוויון בסל עם וקטור, ועוד קבוצה אורתונורמלית שמכילה וקטור חלקיי הנורמה שלו (בהנחה שהוא כמעט ולא עסקנו בו וגם לא 0), כך שאתה מקבל שאם מתקיים שוויון פרסבל מתקיים שהוקטור הראשון שייך לספאן של הוקטור השני חלקי הנורמה שלוניתן לנו תרגיל בית.::::אני מדבר על שיוויון פרסבל עצמו, ללא קשר לשוורץ. ממש להוכיח את השיוויון פרסבל...:::::כדי להוכיח את אי-שוויון בסל אתה לוקח קבוצה א"נ, ומשלים אותה לבא"נ של המרחב. בסופו של דבר, אתה תקבל כזה דבר::::::<math>|a_1|^2+...+|a_n|^2 = ||v||^2</math>:::::וכן באגף השני תקבל: :::::<math>|a_1|^2+...+|a_k|^2</math>:::::עבור סקלרים, כאשר הקבא"נ בגודל k, והבא"נ בגודל n. לפי ההשלמה לבסיס מתקיים ש-n גדול או שווה ל-k. עכשיו, נניח שיש שוויון, אז נקבל ש-:::::<math>a_{k+1}= . . . =a_n=0</math>, כלומר n=k, ואז הקבא"נ מתחילת ההוכחה היא בעצם בא"נ למרחב, ואז לכל v במרחב יתקיים ש-v שייך לספאן של הקבוצה, וגם להפך: אם v שייך לספאן של הקבוצה, אזי הוא צ"ל של איבריה (כל V), ואז נקבל את השוויון הרצוי.יכול להיות במבחן?
==שאלה - ריבוי אלגברי=תשובה===איך אני מגדיר ריבוי אלגברי בצורה "יפה"? האם מספיק לומר שהריבוי האלגברי של ערך עצמי a מוגדר להיות המעלה k של <math>(x-a)^k</math> בפולינום האופייני של המטריצה?התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.
כן, בהנחה שבפולינום אין עוד איקס מינוס איי רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
ריבוי אלגברי הגדרה מלאה: יהי X ע"ע של מטריצה A==שאלה על התרגיל==קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. הריבוי האלגברי של X הוא הוא החזקה הגדולה ביותר K כך ש <math>יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (x-a)^k</math> מחלק אני מניח שרוב מי שקורא את הפולינום האופינישל Aזה יודע מי אני...:-) )
==תרגיל משיעור החזרה==יהיה V מ"ו, ויהי U תת מרחב של V. יהי T ההיטל של V :לא נגשת לבוחן? על U. יהי W תת מרחב של V. הוכח שאם W הינו T-אינווריאנטי אזי <math>W=(W\cap U)\oplus (W\cap U^{\bot})</math>סמך מה נעלה את התרגיל?
===הוכחה==תודה!!=לפי משפט הפירוק הניצב <math>U\oplus U^{\bot}</math> ולכן בוודאי החיתוך ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.<math>תבוא לתרגל באינפי 2 (W\cap U)\cap(W\cap U^{\bot})=\phi</math>. לכן נותר להוכיח שהחיבור שלהם נותן את כל W. יהי <math>w\in W</math> אזי בפרט <math>w \in V</math> ולכן לפי משפט הפירוק הניצב קיימים <math>u_1 \in U</math> ו <math>u_2 \in U^{\bot}</math> כך ש<math>w=u_1+u_2</math>. :
אבל W הינו T-אינווריאנטי ולכן <math>T(W)\subseteq W</math>. ולכן <math>T(w)=u_1 \in W</math>. ולכן <math>w-u_1 = u_2 \in W</math> מתוך סגירות: בהחלט כל הכבוד, וקיבלנו <math>u_1 \in W\cap U</math>, <math>u_2 \in W \cap U^{\bot}</math> כפי שרצינו.מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
:הוכחת הכלה חד כיוונית למעשה, למה זה מספיק?אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'. -מצטרף לתשבוחותרק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית:מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש :הוכחתי חחחחחחחחחחחח גדוללל! :מאיפה אתה קונה את ההכלה הקשההעניבות האלה? גמאני רוצה 8) חחח תכלס עניבות מגניבות. מן הסתם צד ימין מוכל בW כי הוא חיתוך של דברים ..מתרגל מצוין עם Wאחלה לוק !!! =שאלה=בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות? ===תשובה===אם זה טריוויאלילא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
==שאלה==
היי ארז,ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר הסבר גיאומטרי למשמעות המושג "מרכז" לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של שניוניתהבוחן? תודהרבה!נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
אני אנסה לתת הסבר אינטואיטיבי (לפחות ככה אני מבין את זה). קודם כל שים\י לב שלא לכל שניונית יש מרכז: לפרבולה, למשל, אין
להיפרבולה, אליפסה, ישר כפול וכו' יש - אפשר לראות שלמעשה המרכז מהווה נקודת סימטריה, כמו הישר המשקף של העתקת שיקוף, כל נקודה על השניונית מצד אחד נמצאת גם על השניוינית בצד השני של אותה נקודת מרכז. מקווה שעזרתי
:בהחלט, סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה (:...
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
::אחרי שהמבחנים יבדקו
:::לא מאמינים. תוכיח :)
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
==שאלה==
אם בא למישהו להביא הוכחה לכך שP אוניטרית אם ורק אם העמודות שלה מהוות בסיס אורתונורמלי, היא תתקבל בברכהמה מס' הקורס? :P==אמירה==יש ציונים!!!
===תשובה===P*P=I אם"ם <math>[PP^*]_{ij}=\delta _{ij}</math> כאשר <math>\delta _{ij}=1</math> אם <math>i=j</math> ו<math>\delta _{ij}=0</math> אחרת. כלומר אם"ם <math>[PP^*]_{ij}=R_i(P^*)C_j(P)=\delta _{ij}</math> אם"ם <math>\overline{[C_i(P)]^t}C_j(P)=\delta _{ij}</math> אם"ם <math><C_i(P),C_j(P)>=\delta _{ij}</math>אם"ם עמודות P הינן בא"נלמה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
תודה רבהאיך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
==דטרמיננטה בעזרת ע"ע==האם לכל מטריצה, גם לכזו שאינה לכסינה, מתקיים שהדטרמיננטה שלה שווה למכפלת הע"ע?===תשובה===כן, ניתן לשלש אותה ואז הדטרמינננטה היא מכפלת איברי האלכסון, הם הע"ע.18/11
==שאלה מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א- היטל==יהי V ממ"פ, W תת-מרחב המוכל 18 וסעיף ב-V, ו-<math>v\in V</math>. הגדר : היטל של v על W.האם ההיטל מוגדר להיות הוקטור <math>w\in W</math> הקרוב ביותר ל-V, כלומר <math>v-\pi (v)</math>, כאשר <math>\pi (v)</math> פונק' ההטלה על W מוגדרת לפי הבא"נ של W11?
===תשובה===ההיטל הוא אכן הוקטור הקרוב ביותר <math>\pi (v)</math>:כן, פונקצית ההטלה מן הסתם שולחת וקטור להיטל שלוההוכחה שוקלת יותר.. <math>v-\pi (v)</math> אינו ההיטל, הוא הוקטור המאונך להיטל, והנורמה שלו היא המרחק בין v לבין W.
== שאלה ==
האם <math>A</math> לכסינה <math>\Longleftrightarrow</math> <math>A</math> נורמלית?
=== תשובה ===לא. :ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם A לכסינהכן, אבל זה יהיה קצת לא ע"י מטריצה P אוניטריתהוגן, היא לא נורמליתכי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
==שאלה - ריבוי אלגברי/גאומטרי ולכסון==איך מוכיחים שמטריצה A כלשהי ניתנת ללכסון אם"ם הריבויים האלגברי והגאומטרי שווים?*אומרים/מוכיחים (תלוי מה מבקשים) שA ניתנת ללכסון אם"ם יש בסיס לFn המורכב מהו"ע שלה. לאחר מכן, כיוון אחד הוא מניחים שA לכסינה, ולכן יש בסיס המורכב מהו"ע, ולכן האיחוד של הבסיסים לכל המרחבים העצמיים של הע"ע של A יוצא בסיס לV, ויש n וקטורים כאלה (והם בת"ל) ולכן סכום הריבויים הגאומטריים של כל הו"ע הוא חייב להיות n כי אם ::עד כמה שידוע לי לא אז הוקטורים היו ת"ל. בנוסף, סכום הריבויים האלגבריים הוא תמיד n, ולכן הריבויים האלגבריים == הריבויים הגאומטריים. מהכיוון השני, מניחים שסכום הריבויים הגאומטריים הם n כלומר אם נחבר את המימד של כל המרחבים העצמיים יצא לנו n, כלומר סך הכל יש n וקטורים בת"ל שהם ו"ע, ולכן A לכסינהירדו נקודות על זה.חכו לפתיחת המחברות
שכחת לציין- זה שהסכומים שווים לא בהכרח אומר שכולם שווים. זה נובע מכך שכל ריבוי גאומטרי קטן או שווה לריבוי האלגברי של אותו ע"ע- לפי משפט מההרצאהמתי הפתיחת מחברות?
==שאלה==אם מטריצה לא מנוונת זה אומר ש 0-הוא לא ע"ע שלה??:ראיתי תשאלו את מושג באיזה מבחן, אבל לא זכור לי שלמדנו את זה בקורס ולכן לא נראה לי שישאלו משהו על זה.המרצים
לא מנוונת= הפיכה =הכרזה==יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (כי הגרעין הוא רק 0ב'ציוני ביניים')
==שאלה==יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?למישהו יש הוחכה טובה של מה שאנחנו צריכים לדעת ממשפט איילרהציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
==שאלה==
בתרגיל 12 שאלה מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, איל מוצאים את המרחב העצמי של 1? אני מקבל משוואה X+Y+Z=0 מה המרחב העצמי?שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
===תשובה===
פתרון המערכת ההומוגנית יש את אינפי 2 משתנים חופשייםושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
==שאלההצעה==איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסףלדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסוןומעל אחדאז הציון הסופי ייקבע כ-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים. איך ממשיכים?
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^kתשובה=0==ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
==תשובה== תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. נניח שיש ערך עצמי L שהוא היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא אפסנעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפסלכן, וL שונה מאפס ולכן סתירהאם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
==שאלה==איך מוכיחים את הכיוון הבא::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם T אוניטרית אזי ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
===תשובה===צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.מתי יהיו ציונים סופיים?
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדשלא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד:<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר 20 אחוז ציון תרגיל (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיותהציון הסופי שפורסם באתר) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נו80 אחוז ציון מבחן.
==שאלה=פתיחת מחברות=א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך שאני ממליץ לשאול את בוריס : V,W >) ===לגבי מועד ב'=== ( Y(V>אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל V שייך ל- Vהסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)?? רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
===תשובה===
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 ', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (לפי משפט הדרגהכמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א'). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
אם W מכיל ===תשובה של דר' צבאן===לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'. לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציוןנמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחוםו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעיןמועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מביןאת החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא מכילזה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן): http://u. זה משפט ההצגה של ריסcs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html בהצלחה, ד"ר בועז צבאן : תודה רבה
