כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה <math>\mathbb{Z}_p</math> (נזכור ש <math>p</math> חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י ניחושמעבר על כל האפשרויות,
אם <math>a\in \mathbb{Z}_p</math> אז יש <math>p</math> איברים שיכולים להיות הופכי: <math>\{0,1,\ldots,p-1\}</math>
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר <math>a=b=0</math> במצב זה אומרים ש <math>gcd(0,0)=0</math>.
נשים לב שאם <math>p</math> מספר ראשוני ו <math>1\geq leq a\geq leq p-1</math> אז <math>gcd(a,p)=1</math>
<math>(na+mp)mod~p = 1mod~p</math>
שהופך ל <math>(na)mod~p = 1</math>
לכן <math>n~mod~p</math> הוא הופכי מתאים ל <math>a</math>.
לכן כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את <math>n~mod~p</math> הוא הפכי מתאים ? == חישוב ההופכי == עבור שני מספרים <math>a,b \in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>gcd(a,b)=1</math>נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים <math>n,m</math> כך ש <math>na+mb=1</math>. * נתחיל מהמקרה <math>a,b>0</math> נניח ש <math>b>a</math>, נסמן <math>r_1=b \quad r_2 = a</math>. (אם <math>a>b</math> אז נסמן הפוך) נחפש את המספר <math>q_2\in \mathbb{N}</math> הגדול ביותר כך ש <math>r_1-q_2r_2>0</math>. ונסמן <math>r_1-q_2r_2 = r_3</math>. כעת נחפש את המספר הגדול ביותר <math>q_3\in \mathbb{N}</math> כך ש <math>r_2-q_3r_3>0</math> ונסמן <math>r_2-q_3r_3 = r_4</math>. נמשיך כך עד שנגיע לשלב <math>k</math> שבו <math>r_k=1</math>. (היות ו <math>gcd(a,b)=1</math> מובטח לנו שנגיע מתישהוא ל <math>1</math>) עד כאן החלק הקל,עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה השלב האחרון שהגענו אליו היה <math>r_{k-2}-q_{k-1}r_{k-1} = r_k = 1</math> אבל בשלב הקודם קיבלנו ש <math>r_{k-3} - q_{k-2}r_{k-2} = r_{k-1}</math> לכן אפשר להציב <math>r_{k-2}-q_{k-1}(r_{k-3} - q_{k-2}r_{k-2}) = 1</math> שהופך ל:<math>(1+q_{k-1}q_{k-2})r_{k-2}-q_{k-1}r_{k-3} = 1</math> <math>(\ast)</math> אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש<math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3} =r_{k-2}</math> ואפשר להציב את <math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3}</math> ב <math>r_{k-2}</math>שמופיע בביטוי <math>(\ast)</math> ולקבל ביטוי מהצורה <math>xr_{k-4}+yr_{k-3}=1</math>עבור <math>x,y</math> כלשהם וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה<math>mr_1+nr_2=1</math> שזה בדיוק<math>mb+na=1</math>. * אם <math>b<0</math> או <math>a<0</math>אז מוצאים <math>n',m'</math> מתאימים עבור <math>|a|,|b|</math> בשיטה שתוארה קודם ואז <math>n'|a|+m'|b|=1</math> ואז אם <math>a<0</math> לוקחים <math>n=-n'</math> (אחרת <math>n=n'</math>) אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) * אם <math>a=0</math> הסיכוי היחיד ש <math>gcd(a,b)=1</math> זה אם <math>b=1</math> או <math>b=-1</math> וזה מקרה פשוט כנ"ל אם <math>b=0</math> == דוגמא == מצא את ההופכי של <math>27</math> ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>. נחשב <math>101-3\cdot 27=20</math> <math>27-20=7</math> <math>20-2\cdot7 = 6</math> <math>7-6=1</math> עכשיו נחשב אחורה <math>3\cdot 7-20=1 \Leftarrow 7-(20-2\cdot 7)=1</math> <math>3\cdot 27 - 4\cdot 20=1 \Leftarrow 3 \cdot (27-20)-20=1</math> <math>15\cdot 27 - 4\cdot 101=1 \Leftarrow 3\cdot 27 - 4\cdot(101-3\cdot 27)</math>. לכן ההופכי של 27 ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math> הוא 15.