הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏1.)
(←‏א.)
 
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 19: שורה 19:
 
תהי סדרת פונקציות <math>f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}</math>. נתון כי <math>f_n\rightrightarrows f</math> (במ"ש) בקטע <math>[0,1]</math> וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:
 
תהי סדרת פונקציות <math>f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}</math>. נתון כי <math>f_n\rightrightarrows f</math> (במ"ש) בקטע <math>[0,1]</math> וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:
 
:<math>\sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x)</math>
 
:<math>\sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x)</math>
 +
 +
==3.==
 +
(ממבחן)
 +
 +
תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות המוגדרת בקטע <math>[0,1]</math> על ידי הנוסחא הרקורסיבית <math>f_{n+1}(x)=\sqrt{xf_n(x)}</math> ותנאי ההתחלה <math>f_1(x)\equiv 1</math>. הראו כי בקטע סדרת הפונקציות מתכנסת לפונקצית הגבול <math>f(x)=x</math>
 +
 +
אם למדתם את משפט דיני, הוכיחו כי התכנסות זו הינה במ"ש
 +
 +
==4.==
 +
מצאו תחומי התכנסות והתכנסות במ"ש של הטורים הבאים:
 +
 +
===א.===
 +
<math>\sum_{n=2}^\infty ln\Big(1+\frac{x^2}{nln^2n}\Big)</math> בתחום <math>(-a,a)</math>
 +
 +
===ב.===
 +
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}}</math> בתחום <math>[0,\infty)</math>
 +
 +
===ג.===
 +
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n}</math> בתחום <math>[0,\infty)</math>
 +
 +
===ד.===
 +
 +
<math>\sum_{n=1}^\infty 3^nsin\frac{1}{4^nx}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>

גרסה אחרונה מ־10:57, 16 ביולי 2012

1.

קבע תחום התכנסות ותחום התכנסות במ"ש של הפונקציות הבאות

א.

f_n(x)=\frac{x}{n}ln\Big(\frac{x}{n}\Big) כאשר x\in(0,1)

ב.

f_n(x)=\frac{1}{n}sin\Big(e^nx\Big) כאשר x\in(-\infty,\infty)

ג.

f_n(x)=nsin\Big(\frac{x}{n}\Big) כאשר x\in(-\infty,\infty)

ד.

f_n(x)=x\cdot arctan(nx) כאשר x\in(0,\infty)

2.

(ממבחן)

תהי סדרת פונקציות f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}. נתון כי f_n\rightrightarrows f (במ"ש) בקטע [0,1] וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:

\sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x)

3.

(ממבחן)

תהי f_n סדרת פונקציות המוגדרת בקטע [0,1] על ידי הנוסחא הרקורסיבית f_{n+1}(x)=\sqrt{xf_n(x)} ותנאי ההתחלה f_1(x)\equiv 1. הראו כי בקטע סדרת הפונקציות מתכנסת לפונקצית הגבול f(x)=x

אם למדתם את משפט דיני, הוכיחו כי התכנסות זו הינה במ"ש

4.

מצאו תחומי התכנסות והתכנסות במ"ש של הטורים הבאים:

א.

\sum_{n=2}^\infty ln\Big(1+\frac{x^2}{nln^2n}\Big) בתחום (-a,a)

ב.

\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}} בתחום [0,\infty)

ג.

\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n} בתחום [0,\infty)

ד.

\sum_{n=1}^\infty 3^nsin\frac{1}{4^nx} בתחום (0,\infty)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-133_אינפי_2_תשעב_סמסטר_ב/תרגילים/תרגיל_5&oldid=24369