הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"
(←6) |
(בדקתי בוולפרם אלפא) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
נבצע [[אינטגרציה בחלקים]] לקבל | נבצע [[אינטגרציה בחלקים]] לקבל | ||
− | <math>\int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x) | + | <math>\int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)+ln|cos(x)|+c</math> |
===ג=== | ===ג=== |
גרסה מ־18:21, 19 ביולי 2012
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:
נגזור על מנת למצוא את המקסימום:
הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות
,
ולכן
ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.
ב
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).
6
הוכח כי הפונקציה רציפה בכל הממשיים
פתרון: