הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(יצירת דף עם התוכן "=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= ==משפט 2== יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות של...") |
מ |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S</math> במובן הרחב אז <math>S=R</math>. | יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S</math> במובן הרחב אז <math>S=R</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | יהי x כרצוננו ונוכיח שאם <math>|x-x_0|<S</math> אז הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>S</math> אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-<math>b_n=a_n(x-x_0)^n</math> ולכן אם <math>|x-x_0|<S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1</math> ואם <math>|x-x_0|>S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S | + | יהי x כרצוננו ונוכיח שאם <math>|x-x_0|<S</math> אז הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>S</math> אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-<math>b_n=a_n(x-x_0)^n</math> ולכן אם <math>|x-x_0|<S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1</math> ואם <math>|x-x_0|>S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S>1</math>. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|<S</math> (ולכן <math>S\le R</math>) ואינו מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|>S</math> (ולכן <math>S\ge R</math>). מכאן ש-<math>R=S</math>. {{משל}} |
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון. | בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון. | ||
שורה 12: | שורה 12: | ||
===דוגמאות נוספות=== | ===דוגמאות נוספות=== | ||
# נקח <math>f(x)=\sin(x)</math> ו-<math>x_0=0</math>. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל <math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, בתנאי ש-<math>R_N(x)\to0</math>. נוכיח שזה אכן מתקיים: <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-<math>\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}</math> ולכן <math>|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. עתה יהי <math>x\in\mathbb R</math> מסויים וניצור סדרה <math>\{a_N\}</math> כך ש-<math>a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. נותר להוכיח ש-<math>a_N\to0</math>, ולכן מספיק להוכיח ש-<math>\sum_{N=0}^\infty a_N</math> מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0</math>. {{משל}} | # נקח <math>f(x)=\sin(x)</math> ו-<math>x_0=0</math>. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל <math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, בתנאי ש-<math>R_N(x)\to0</math>. נוכיח שזה אכן מתקיים: <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-<math>\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}</math> ולכן <math>|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. עתה יהי <math>x\in\mathbb R</math> מסויים וניצור סדרה <math>\{a_N\}</math> כך ש-<math>a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. נותר להוכיח ש-<math>a_N\to0</math>, ולכן מספיק להוכיח ש-<math>\sum_{N=0}^\infty a_N</math> מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0</math>. {{משל}} | ||
− | # נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> ונוכיח ש-f גזירה <math>\infty</math> פעמים ב-<math>\mathbb R</math> וש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0</math>.<br/>''טענה 1:'' אם <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית אזי <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0</math>. '''הוכחה:''' קיים <math>m\in\mathbb N\cup\{0\}</math> כך ש-<math>q(x)=x^m\cdot r(x)</math> עבור פולינום r שמקיים <math>r(0)\ne0</math>. לפיכך, עבור <math>y=\ | + | # נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> ונוכיח ש-f גזירה <math>\infty</math> פעמים ב-<math>\mathbb R</math> וש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0</math>.<br/>''טענה 1:'' אם <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית אזי <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0</math>. '''הוכחה:''' קיים <math>m\in\mathbb N\cup\{0\}</math> כך ש-<math>q(x)=x^m\cdot r(x)</math> עבור פולינום r שמקיים <math>r(0)\ne0</math>. לפיכך, עבור <math>y=\frac1{x^2}</math>, <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y}</math>, ואחרי הפעלת כלל לופיטל <math>\left\lceil\frac m2\right\rceil</math> פעמים נקבל 0.<br/>''טענה 2:'' לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכל <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x)</math> עבור פונקציה רציונלית <math>g_n</math> כלשהי כך ש-<math>f^{(n)}(0)=0</math>. '''הוכחה:''' נוכיח באינדוקציה. עבור <math>n=1</math>: <math>f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}}</math> וכן <math>f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור <math>n+1</math>: <math>f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right)</math>. כמו כן <math>f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה 0. {{משל}} נובע מכך שטור מקלורן של f הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0</math>, שלא שווה ל-<math>f(x)</math> לכל x מלבד 0. |
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
− | יהי טור חזקות <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> | + | יהי טור חזקות <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי: |
# בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> מוגדרת פונקציה גבולית רציפה <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>. | # בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> מוגדרת פונקציה גבולית רציפה <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>. | ||
# בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R. | # בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R. | ||
שורה 22: | שורה 22: | ||
# יהי <math>x\in(x_0-R,x_0+R)</math> כרצונינו ונבחר r המקיים <math>|x-x_0|<r<R</math>. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math>. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math> ובפרט בנקודה x. {{משל}} | # יהי <math>x\in(x_0-R,x_0+R)</math> כרצונינו ונבחר r המקיים <math>|x-x_0|<r<R</math>. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math>. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math> ובפרט בנקודה x. {{משל}} | ||
# הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> והטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן <math>\frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R</math>, כלומר <math>R=S</math>. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. {{משל}} | # הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> והטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן <math>\frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R</math>, כלומר <math>R=S</math>. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. {{משל}} | ||
− | + | {{המשך סיכום|תאריך=29.5.11}} | |
<ol start="3"> | <ol start="3"> | ||
− | <li>נבחר x מסויים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ונסמן <math>r=|x-x_0|</math>. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין <math>x_0</math> ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math> ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא | + | <li>נבחר x מסויים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ונסמן <math>r=|x-x_0|</math>. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין <math>x_0</math> ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math> ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא הטור המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות. {{משל}} |
</li> | </li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה אחרונה מ־20:50, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 2
יהי טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים במובן הרחב אז .
הוכחה
יהי x כרצוננו ונוכיח שאם אז הטור מתכנס בהחלט, ואם אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ- ולכן אם אזי ואם אזי . ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם (ולכן ) ואינו מתכנס בהחלט אם (ולכן ). מכאן ש-.
דוגמאות
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.
- . אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות:
- . דרך ראשונה: נעשה זאת לפי מבחן המנה: , אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו במקום . עם זאת, נשים לב שאם נציב אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של . מכאן שהטור מתכנס כאשר , כלומר כאשר , ולכן הוא . דרך שנייה: נחשב בעזרת מבחן השורש: . גם כאן יש מכשול כי ואילו . לגבי האינדקסים האי-זוגיים ולגבי הזוגיים . לכן ולפיכך .
- . לפי מבחן המנה: . מכאן שהטור מתכנס רק עבור .
- דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה פעמים בסביבת . לכל ניתן לכתוב , ולכן . אם עבור x מסויים אזי , וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב ". עבור הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: , שרדיוס ההתכנסות שלו הוא : .
דוגמאות נוספות
- נקח ו-. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל , בתנאי ש-. נוכיח שזה אכן מתקיים: לכל , כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש- ולכן . עתה יהי מסויים וניצור סדרה כך ש-. נותר להוכיח ש-, ולכן מספיק להוכיח ש- מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: .
- נגדיר ונוכיח ש-f גזירה פעמים ב- וש-.
טענה 1: אם פונקציה רציונלית אזי . הוכחה: קיים כך ש- עבור פולינום r שמקיים . לפיכך, עבור , , ואחרי הפעלת כלל לופיטל פעמים נקבל 0.
טענה 2: לכל ולכל מתקיים עבור פונקציה רציונלית כלשהי כך ש-. הוכחה: נוכיח באינדוקציה. עבור : וכן , ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור : . כמו כן , ולפי טענה 1 זה שווה 0. נובע מכך שטור מקלורן של f הוא , שלא שווה ל- לכל x מלבד 0.
משפט 3
יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות . אזי:
- בקטע מוגדרת פונקציה גבולית רציפה .
- בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים . לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
- עבור מתקיים , וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.
הוכחה
- יהי כרצונינו ונבחר r המקיים . לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע ובפרט בנקודה x.
- הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע והטור הגזור הוא , לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן , כלומר . נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב- ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
- נבחר x מסויים בקטע ונסמן . עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא הטור המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות.