הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "michael.michaeli (@) gmail.com ---- ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מר...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־14:37, 30 ביולי 2012
michael.michaeli (@) gmail.com
הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון ), מכפלה פנימית (כגון
ב־
), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) (
), מרחבי הסדרות
עם
, אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): . נבחר עבור
כרצוננו
, ונסכום לכל
:
. נכפול ב־
תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה בת״ל לקבוצה
אורתונורמלית כך ש־
.
טענת עזר: יהי מרחב מכפלה פנימית, ותהי
קבוצה אורתונורמלית ב־
. אם
אזי
. הוכחה:
![W=\mbox{span}(S)](/images/math/b/d/2/bd2af97827561012104daf634d884165.png)
![V](/images/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![\mathbf u\in V\setminus W](/images/math/b/1/1/b11491a891d4671503a5a58aed57235e.png)
![\mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k](/images/math/1/4/0/1405b3aa64b75abb218f428e602a646b.png)
![\tilde\mathbf u](/images/math/2/5/3/25336a93c7c5c308313e746d850f9355.png)
![\mathbf u](/images/math/b/7/b/b7b5f10028c003b053351a69be3952d0.png)
![W](/images/math/6/1/e/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png)
![\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|](/images/math/a/5/5/a553387cc69fb944e73c4560e37012a0.png)
![\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k](/images/math/4/8/5/485787d2b8ee7c72b4f8121b84b7a2b8.png)
![[-1,1]](/images/math/d/0/6/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
![\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx](/images/math/0/9/6/096516fc45c62456b5befafc644a4a6c.png)
![f(x)=x^3](/images/math/2/7/2/2728ee3489e281348bfa58decdc0e10a.png)
![S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}](/images/math/c/d/a/cda4d7c0f7fa73cb29f18fcb2be8380c.png)
![\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}](/images/math/0/2/9/029a5ce5fb659f67b7b07456f82a6486.png)
ולפיכך מינימלי.