הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/1.8.12"
(יצירת דף עם התוכן "……… === דוגמה === <math>y'=\frac{6x+2y+1}{3x+y+1}</math> ==== פתרון ==== <math>\begin{vmatrix}6&2\\3&1\end{vmatrix}=0</math> לכן <math>(6,2)=2...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־11:53, 1 באוגוסט 2012
………
תוכן עניינים
דוגמה
פתרון
לכן ונסמן . נציב ונגזור לפי : .
נבדוק ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־ ולכן .{{left|עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c
ו־ פתרון סינגולרי בצורת קו ישר.
מקרה 2
. במקרה זה נציב . נבחר את כך שיאפסו את המחוברים הקבועים במונה ובמכנה, וכך נגיע למד״ר הומוגנית עבור כפונקציה של .
דוגמה
. אזי ונציב באופן הנ״ל. מתקיים . נרצה ש־. לפיכך ונסמן .לפיכך עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{1+z}{1-z}=\frac{\\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(p\cdot z)}{\mathrm dp}=z+p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp} . נקבל ומכאן ש־. לבסוף, .
מד״ר לינאריות מסדר ראשון
. אם המד״ר הומוגנית ניתן להפריד משתנים ולהגיע לפתרון . כדי לפתור מד״ר אי־הומוגנית קודם כל פותרים את המד״ר ההומוגנית המתאימה (בודקים ) ואז מציבים במקום . לסיום פותרים עבור הפונקציה .
תרגיל
מצא את הפתרון הכללי של המד״ר .
פתרון
נביא את המד״ר לצורה ע״י חילוק ב־: . לכן . המד״ר ההומוגנית המתאימה היא שפתרונה . נשתמש בווריאציית המקדמים ונצא פתרון מהצורה . נציב במד״ר . עתה ולכן .
תרגיל
נתון מעגל חשמלי כמתואר בציור. לפי חוק קירכהוף הזרם במעגל, , מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית .
- בהנתן שבזמן המעגל פתוח ומייד לאחר מכן סוגרים את המתג, מצא את הזרם החשמלי במעגל בזמן כלשהו.
- מהו הזרם החשמלי במעגל לאחר זמן רב, ?
פתרון
- כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה . המד״ר היא . נביא לצורה . עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt\right)=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\int\frac{50}3\mathrm e^{\frac{10}3t}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\left(c+5\mathrm e^{\frac{10}3t}\right)=5+c\mathrm e^{-\frac{10}3t}
………
- כעבור זמן רב הזרם הוא (Ampe`re).
תרגיל
פתור בקטע .
פתרון
זוהי מד״ר לינארית מסדר ראשון עם . ע״ס הנוסחה בקטע הנתון ולכן ניתן להתעלם מהערך המוחלט.
………
משוואת ברנולי
. ניתן להציב ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): y(x)=\left(\mathrm e^{-\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx
………
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה נקראת מדוייקת בתחום אם קיימת פוקנציה סקלרית כך ש־. אם כן המד״ר היא ופתרונותיה הן עקומות הרמה של . תנאי הכרחי הוא .
תרגיל
פתור את המד״ר עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matrhrm לא מוכרת): 2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\matrhrm dx}=0 .
פתרון
נכפיל ב־ ונקבל ונחפש פונקצית דיפרנציאל כנ״ל.
.
………
ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי ונגרוש ש־ מדוייקת. כדי ש־ תהא תלויה ב־ בלבד צריך להתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{\frac{\partial
…………
תרגיל
פתרו . אזי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \partail לא מוכרת): \frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\partail P}{\partial y}=3y^2 . ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל , כלומר התלות ב־ בלבד, כדרוש.