הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
מתוך Math-Wiki
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==1== *<math>x^2+2x+1\leq 0</math> נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס. <math>x^2+2x+1\eq 0</math>") |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
*<math>x^2+2x+1\leq 0</math> | *<math>x^2+2x+1\leq 0</math> | ||
− | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס | + | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1 = 0</math>. |
+ | |||
+ | לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math>. | ||
+ | |||
+ | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x). | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x=-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(1-x)(x+6)> 0</math> | ||
+ | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1</math> וב<math>x=-6</math>. | ||
+ | |||
+ | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש<math>x<-6</math> ו<math>x>1</math> | ||
+ | וערכים חיוביים כש<math>-6<x<1</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>-6<x<1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>-3x^2 +6x - 1 \geq 0 </math> | ||
+ | מתי הביטוי מתאפס: <math>-3x^2+6x-1=0</math>? לפי נוסחה נקבל <math>x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3}</math> | ||
+ | |||
+ | המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0</math> | ||
+ | נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-1</math> , <math>x^2</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי. | ||
+ | |||
+ | <math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי) | ||
+ | |||
+ | <math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math> | ||
+ | כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|x|\leq 7</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|2x-1|<7</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(x-1)|x-1| > 1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\frac{|x|}{x} > 1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|x-1|>|x^2-1|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math> |
גרסה מ־09:44, 8 באוגוסט 2012
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב וב.
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש ו וערכים חיוביים כש
פתרון:
מתי הביטוי מתאפס: ? לפי נוסחה נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: , , , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב או
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.