הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
||
שורה 46: | שורה 46: | ||
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | <math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | ||
− | בנקודות <math>x=0 , pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון. | + | בנקודות <math>x=0 , \pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון. |
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math> | פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
שורה 59: | שורה 56: | ||
*<math>|x|\leq 7</math> | *<math>|x|\leq 7</math> | ||
+ | נחלק למקרים: אם <math>x \ geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>|x|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math> | ||
+ | |||
+ | אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math> | ||
+ | |||
+ | נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>-7 \leq x \leq 7</math> | ||
*<math>|2x-1|<7</math> | *<math>|2x-1|<7</math> | ||
+ | נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math>1 /over 2</math> לכן נתבונן במקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x \geq {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} \leq x < 4</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x < {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל: | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>-3 < x < 4</math> | ||
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math> | *<math>(x-1)|x-1| > 1</math> | ||
+ | נחלק למקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2-2x > 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-x^2 +2x -2 > 0</math> ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון. | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x>2</math> | ||
גרסה מ־10:03, 8 באוגוסט 2012
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב וב.
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש ו וערכים חיוביים כש
פתרון:
מתי הביטוי מתאפס: ? לפי נוסחה נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: , , , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב או
: מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
נחלק למקרים: אם נקבל את אי השוויון ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל , לכן וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
פתרון:
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב לכן נתבונן במקרים:
: אי השוויון הוא לכן ו. התשובה היא
: אי השוויון הוא לכן לכן . התשובה היא . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי השוויון הוא . נפשט ונקבל . ביטוי זה חיובי עבור או (בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא . נפשט ונקבל ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: