הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ==משפט דה-מואבר== מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספר...") |
(←משפט דה-מואבר) |
||
שורה 27: | שורה 27: | ||
מסקנה: '''משפט דה-מואבר''' | מסקנה: '''משפט דה-מואבר''' | ||
− | ::<math>\Big( | + | ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math> |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': | ||
+ | |||
+ | מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^3=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון''': | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כיצד ניתן לחשב את כולן? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נסמן <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>3\theta = 2\pi k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> |
גרסה מ־08:25, 9 באוגוסט 2012
משפט דה-מואבר
מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:
כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.
הוכחה:
מסקנה: משפט דה-מואבר
תרגיל:
מצא את כל הפתרונות למשוואה
פתרון:
נסמן . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:
לכן . ו- היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.
הזויות המקיימות את זה הן:
כיצד ניתן לחשב את כולן?
נסמן
ולכן
ולכן כאשר