הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math> | *<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math> | ||
+ | נסמן <math>z_1=x_1+y_1 \cdot i , z_2=x_2+y_2 \cdot i</math>. נחשב את אגף שמאל: | ||
+ | |||
+ | <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i)} = \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i}=(x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math> | ||
+ | |||
+ | נחשב את אגף ימין: <math>\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1 \cdot i) \cdot (x_2-y_2 \cdot i) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)-(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math> | ||
+ | |||
+ | בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון. | ||
גרסה מ־02:05, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.