שינויים
/* 3 */
*<math>tan(x) < 0</math>
<math>tan(x)={sin(x) \over cos(x)}</math> לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש אותו סימןסימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע הראשון והרביע השלישיהשני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: <math>\pi k < x < -{\pi \over 2}+\pi k < x < \pi k</math>
*<math>sin(x)<cos(x)</math>
מתקיים שוויון כאשר <math>x={\pi \over 4} + \pi k</math>. עד <math>\pi \over 4</math> הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד <math>5\pi \over 4</math> בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של <math>2\pi</math>. לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k</math>
*<math>e^{sin(x)} < 1</math>
נסמן <math>y=sin(x)</math> ונבדוק מתי <math>e^y<1</math>. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>sin(x)=y<0</math>. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור <math>-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k</math>
*<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math>
נפתח סוגריים ונקבל: <math>sin(x)^2-cos(x)^2>0</math>. ניעזר בזהות <math>sin(x)^2+cos(x)^2=1</math> ונגיע לאי השוויון: <math>2sin(x)^2-1>0</math>. מכאן נעביר אגפים ונקבל <math>sin(x)^2>{1 \over 2}</math> והפתרון שלו הוא <math>sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}</math> או <math>sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}</math>. זה מתקיים עבור: <math>{\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k</math>
*<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math>
נציב <math>y=\pi \cdot cos(x)</math> ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור <math>2\pi k < y < \pi + 2\pi k</math>. לכן <math>2k<cos(x)<1+2k</math>.
אם <math>k>0</math>: נקבל <math>2 < cos(x)</math> וזה לא יתכן.
<math>k<0</math>: נקבל <math>cos(x)<-1</math> וזה גם לא יתכן.
עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math>
==2==
הוכח:
*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>
נסמן <math>z_1=x_1+y_1 \cdot i , z_2=x_2+y_2 \cdot i</math>. נחשב את אגף שמאל:
<math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i)} = \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i}=(x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math>
נחשב את אגף ימין: <math>\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1 \cdot i) \cdot (x_2-y_2 \cdot i) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)-(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math>
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
*<math>|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
<math>|z_1\cdot z_2|=|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>
אגף ימין: <math>|z_1|\cdot |z_2| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
*<math>Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}</math>
<math>\frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i + x - y \cdot i}{2} = \frac{2x}{2}=x=Re(z)</math>
*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>
<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math>
==3==
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:
*<math>1+i</math>
<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>
<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4}</math>
לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4})</math>
*<math>(1-i)^{-1}</math>
<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>
זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4})</math>
*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>
ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:<math>(1+i)(2-3i)</math>. נפתח סוגריים ונקבל: <math>(2+3)+(-3+2)i</math>. סה"כ הצורה הקרטזית היא <math>5-i</math>
הצורה הפולארית: <math>r=\sqrt{26}</math>
<math>\varphi = arctan(\frac{-1}{5}) \approx -11^\circ</math>
לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{26}\cdot cis(-11^\circ)</math>
*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math>
נמצא את הצורה הקרטזית: <math>x=cos(\frac{\pi}{2})=0 , y=sin(\frac{\pi}{2})=1</math>
לכן המספר שווה לi
*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math>
<math>x=2cos(1006\pi)=2cos(0)=2</math>
<math>y=2sin(1006\pi)=2sin(0)=0</math>
לכן המספר שווה ל2
