הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←משפטים חשובים) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
== משפטים חשובים == | == משפטים חשובים == | ||
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. | * '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. | ||
− | * כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0\end{cases}</math>. כמו כן, | + | * כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית. |
== שיטות לפתרון מד״ר == | == שיטות לפתרון מד״ר == |
גרסה מ־11:04, 13 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי
פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־
בתיבה
, ונתונים תנאי ההתחלה
. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע
.
- כל מד״ר מסדר
שקולה למערכת של
מד״ר מסדר 1:
. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה
. אם
אזי
פתרון, ואם
אזי
פתרון. אחרת
.
- נתונה מד״ר
. אז נציב
ו־
.
- הכללה: נתונה מד״ר
. אם
נציב
כאשר
. אחרת נבחר
ונציב
.
- הכללה: נתונה מד״ר
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר
. אזי נציב
ו־
.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר
. אם היא לינארית־הומוגנית אזי
, ובכל מקרה
.
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר
. נציב
, כאשר אם
אז
פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־
), אם
אז פתרון סינגולרי, ואם
אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים:
.
- מד״ר מהצורה
היא מדויקת אם״ם יש
כך ש־
שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
כך שתהפוך למדויקת.
תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
. היא תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה
. הפתרון הכללי הוא מהצורה
. אם
פתרון אזי
הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר
ממעלה
. אזי קיימות פונקציות
שעבורן
.
- אם
נציב
ואז
עבור
יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- אם
נציב
ואז
עבור
יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה
. נבחר פונקציה
שעבורה
, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת
. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים)
היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר
. אזי
או (כאשר
)
.
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר
עבור
. נציב
ואז
. לפיכך
מקיים
או
(מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־
מקיים
.
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר
או
נציב
ונקבל
או
, בהתאמה. מתקיים
ו־
.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן
הם פולינומים ממעלה
או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
מימדי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות
מגדירים
.
- אם
ת״ל אזי
.
- אם
פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום
וכן
אזי הם ת״ל.
- אם
- משפט ליוביל: אם
פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי
.
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא
, כאשר
הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־
פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים
פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא
כאשר
. באופן שקול:
, כאשר
.
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב
, ולכן
וגם
. אם השורשים השונים זה מזה הם
והריבויים שלהם
בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא
. אם
אינו ממשי ניתן לכתוב
ואז, כיוון ש־
שורש עם אותו ריבוי, נציב
.
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן
, כאשר
קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של
ב־
הוא
(במידה ו־
לא שורש נאמר
). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה
כאשר
. הערה: אם
נוכל לפתור עבור
בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.