מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3

1

• חשב את הסכום [math]\displaystyle{ 1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n} }[/math]

[רמז: סכום סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ 1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} }[/math], ומשפט דה-מואבר]

נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{cis(1)}{2} }[/math]

לפי דה מואבר: [math]\displaystyle{ z^n = \frac{cis(n)}{2^n} }[/math]

לכן: [math]\displaystyle{ 1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big) }[/math]

לכן הסכום המבוקש שווה [math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n) }[/math]. נחשב:

[math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}}) }[/math]

בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: [math]\displaystyle{ \frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)} }[/math]

• מצא את כל הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ z^5=1-i }[/math]

נמצא את ההצגה הפולארית של [math]\displaystyle{ 1-i }[/math]:

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4} }[/math]

לכן המשוואה היא: [math]\displaystyle{ z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k) }[/math]

לכן לפי דה מואבר נקבל: [math]\displaystyle{ z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}) }[/math]

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב [math]\displaystyle{ k=0...4 }[/math]