מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3

1

• חשב את הסכום [math]\displaystyle{ 1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n} }[/math]

[רמז: סכום סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ 1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} }[/math], ומשפט דה-מואבר]

נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{cis(1)}{2} }[/math]

לפי דה מואבר: [math]\displaystyle{ z^n = \frac{cis(n)}{2^n} }[/math]

לכן: [math]\displaystyle{ 1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big) }[/math]

לכן הסכום המבוקש שווה [math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n) }[/math]. נחשב:

[math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}}) }[/math]

בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: [math]\displaystyle{ \frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)} }[/math]

• מצא את כל הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ z^5=1-i }[/math]

נמצא את ההצגה הפולארית של [math]\displaystyle{ 1-i }[/math]:

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4} }[/math]

לכן המשוואה היא: [math]\displaystyle{ z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k) }[/math]

לכן לפי דה מואבר נקבל: [math]\displaystyle{ z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}) }[/math]

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב [math]\displaystyle{ k=0...4 }[/math]

2

• מצא את ההיטל של הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] על הישר הנפרש על ידי הוקטור [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math]

נסמן את הוקטור הרצוי ב[math]\displaystyle{ t(2,2) }[/math]. השיפוע של הישר הוא 1 לכן השיפוע של הישר המאונך הוא [math]\displaystyle{ -1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \frac{2t-2}{2t-1} = -1 }[/math]. נפתור ונקבל [math]\displaystyle{ t=\frac{3}{4} }[/math]. נציב ונקבל: [math]\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{3}{2}) }[/math]

• מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו [math]\displaystyle{ 3x-1=y }[/math]

• מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים [math]\displaystyle{ (1,2,3),(1,4,5) }[/math]

• מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,2) }[/math]

• מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ u }[/math]

• מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור [math]\displaystyle{ (1,-1,5) }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math]

• מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור [math]\displaystyle{ (1,4) }[/math] הינה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3} }[/math]. כמה כאלה יש?

• הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון [math]\displaystyle{ u\cdot v \leq |u||v| }[/math] (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה [math]\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab }[/math]]